Considere o campo vetorial
.
- (b) Determine a divergência e o rotacional do campo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar a divergência e o rotacional do campo vetorial
. Para isso, vamos precisar entender as definições de divergência e rotacional, que fazem parte do estudo de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial. A divergência de um campo vetorial
é dada pela fórmula:
Isso basicamente mede como o campo está “se expandindo” ou “contraindo” em cada ponto.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
:
-
:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o rotacional do campo vetorial. No caso de campos em duas dimensões, o rotacional é dado por:
Isso indica a tendência do campo a girar em torno de um ponto.
Passo 6
Vamos calcular cada derivada parcial para o rotacional:
-
:
-
:
Passo 7
Agora, subtraímos essas derivadas para encontrar o rotacional:
Resposta
A divergência do campo
é
e o rotacional é
.