Considere o campo vetorial A(x, y)=(3 x^2-y, 4 y^2+x).
  • (b) Determine a divergência e o rotacional do campo A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar a divergência e o rotacional do campo vetorial A(x, y) = (3x^2 - y, 4y^2 + x). Para isso, vamos precisar entender as definições de divergência e rotacional, que fazem parte do estudo de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial. A divergência de um campo vetorial A = (Ax, Ay) é dada pela fórmula:
div , A = partial Axpartial x + partial Aypartial y
Isso basicamente mede como o campo está “se expandindo” ou “contraindo” em cada ponto.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Ax = 3x^2 - y partial Axpartial x = 6x :
Ay = 4y^2 + x partial Aypartial y = 8y
  1. :

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
div , A = 6x + 8y

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o rotacional do campo vetorial. No caso de campos em duas dimensões, o rotacional é dado por:
rot , A = partial Aypartial x - partial Axpartial y
Isso indica a tendência do campo a girar em torno de um ponto.

Passo 6

Vamos calcular cada derivada parcial para o rotacional:
  1. Ay = 4y^2 + x partial Aypartial x = 1 :
Ax = 3x^2 - y partial Axpartial y = -1
  1. :

Passo 7

Agora, subtraímos essas derivadas para encontrar o rotacional:
rot , A = 1 - (-1) = 2

Resposta

A divergência do campo é e o rotacional é .

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