Um campo de velocidade em um gás é dado por
. Para o ponto
, determine: (a) o módulo da velocidade; (b) um vetor unitário especificando sua direção; © a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais a velocidade tem módulo unitário.
Passo 1
Beleza, a gente tem um campo de velocidade no gás dado por
O enunciado pede, no ponto
:
(a) o módulo de ,
(b) um vetor unitário na direção de ,
© a equação do lugar geométrico dos pontos onde .
(a) o módulo de
(b) um vetor unitário na direção de
© a equação do lugar geométrico dos pontos onde
Conteúdo: vetor, módulo de vetor, vetor unitário, resolução de equação escalar.
Vamos usar:
Vamos usar:
- Fórmula do vetor no ponto.
- Definição de módulo:
. - Vetor unitário:
. - Resolver
, com .
Passo 2
Primeiro, calculamos
em
.
Substituindo ,
,
em
Substituindo
Logo
Passo 3
Agora o módulo
.
Pelo conceito,
Pelo conceito,
Calculando cada termo:
Somando em denominador comum
:
logo
Passo 4
O vetor unitário
na direção de
é
Cada componente fica:
Então
Passo 5
Por fim, o lugar geométrico onde
.
Sabemos que
Sabemos que
Queremos
. Multiplicando:
Isso é uma equação de segundo grau em
, com soluções
Como
, temos duas esferas concêntricas de raio
e
.
Em coordenadas, o lugar geométrico é dado por
ou seja as superfícies esféricas
Resposta
(a)
(b)
© O lugar geométrico é dado pelas esferas
(b)
© O lugar geométrico é dado pelas esferas