Um campo de velocidade em um gás é dado por v=5(x ax+y ay+z az) /(x^2+y^2+z^2+2). Para o ponto P(-2,3,1), determine: (a) o módulo da velocidade; (b) um vetor unitário especificando sua direção; © a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais a velocidade tem módulo unitário.

Passo 1

Beleza, a gente tem um campo de velocidade no gás dado por
vec v(x,y,z);=;5,x,hat ax;+;y,hat ay;+;z,hat azx^2+y^2+z^2+2,
O enunciado pede, no ponto :
(a) o módulo de ,
(b) um vetor unitário na direção de ,
© a equação do lugar geométrico dos pontos onde .
Conteúdo: vetor, módulo de vetor, vetor unitário, resolução de equação escalar.
Vamos usar:
  • Fórmula do vetor no ponto.
  • Definição de módulo: .
  • Vetor unitário: .
  • Resolver , com .

Passo 2

Primeiro, calculamos vec v=;5,(-2),hat ax+3,hat ay+1,hat az(-2)^2+3^2+1^2+2 ;=;5,-2,hat ax+3,hat ay+1,hat az4+9+1+2 ;=;5,-2,hat ax+3,hat ay+1,hat az16 em vec v(P) =l(-tfrac1016r)hat ax;+;l(tfrac1516r)hat ay;+;l(tfrac516r)hat az =l(-tfrac58,;tfrac1516,;tfrac516r) .
Substituindo , , em
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Passo 3

Agora o módulo |vec v|=raizvx^2+vy^2+vz^2 =raizl(-tfrac58r)^2+l(tfrac1516r)^2+l(tfrac516r)^2 .
Pelo conceito,
l(-tfrac58r)^2=tfrac2564, l(tfrac1516r)^2=tfrac225256, l(tfrac516r)^2=tfrac25256
Calculando cada termo:
25cdot4+225+25256 =100+225+25256 =350256,
Somando em denominador comum |vec v(P)|=raiz350256 =raiz35016 =5raiz1416 :
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Passo 4

O vetor unitário hat u=vec v(P)|vec v(P)| =l(-tfrac5/85raiz14/16,;tfrac15/165raiz14/16,;tfrac5/165raiz14/16r) na direção de -5/85raiz14/16 =-58cdot165raiz14 =-2raiz14, 15/165raiz14/16 =1516cdot165raiz14 =3raiz14, 5/165raiz14/16 =1raiz14 é
hat u =l(-tfrac2raiz14,;tfrac3raiz14,;tfrac1raiz14r)
Cada componente fica:
Então

Passo 5

Por fim, o lugar geométrico onde |vec v|=5,RR^2+2, R=raizx^2+y^2+z^2 .
Sabemos que
5R = R^2+2 ;;Longrightarrow;; R^2 -5R +2 =0
Queremos R=5pmraiz25-82 =5pmraiz172 . Multiplicando:
raizx^2+y^2+z^2 =5pmraiz172,
Isso é uma equação de segundo grau em x^2+y^2+z^2 =l(tfrac5+raiz172r)^2 e x^2+y^2+z^2 =l(tfrac5-raiz172r)^2 , com soluções
Como , temos duas esferas concêntricas de raio
e .
Em coordenadas, o lugar geométrico é dado por
ou seja as superfícies esféricas

Resposta

(a)
(b)
© O lugar geométrico é dado pelas esferas

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