Dados F=2 x^2 ax-4 y z^2 ay+3(x+y-z) az e G=(y ax+z ay+x az) /(x^2+y^2+z^2), determinar: (a) |F(2,-1,3)|; (b) aF em(-1,2,-2); © F cdot G no ponto (2,-2, 4); (d) o ângulo entre F e G no ponto (2,-2,4).

Passo 1

Beleza, o exercício pede operações de vetores em pontos dados. A matéria é cálculo vetorial básico:
  • módulo de um vetor (√(Fx²+Fy²+Fz²))
  • vetor unitário (v/|v|)
  • produto escalar (FxGx+FyGy+FzGz)
  • ângulo entre vetores (θ=arccos[(F·G)/(|F||G|)])
    Vamos usar essas fórmulas e avaliar F e G nos pontos indicados.

Passo 2

(a) Calcular |F(2,−1,3)|
  1. Avalia F em (2,−1,3):
    Fx=2·2²=8
    Fy=−4·(−1)·3²=36
    Fz=3·(2+(−1)−3)=3·(−2)=−6
    Logo F=(8,36,−6).
  2. Módulo: |F|=raiz8^2+36^2+(-6)^2=raiz64+1296+36=raiz1396=2raiz349approx37.36

Passo 3

(b) Calcular o vetor unitário |F|=raiz2^2+(-32)^2+9^2=raiz4+1024+81=raiz1109 em (−1,2,−2)
  1. Avalia F em (−1,2,−2):
    Fx=2·(−1)²=2
    Fy=−4·2·(−2)²=−4·2·4=−32
    Fz=3·(−1+2−(−2))=3·3=9
    Logo F=(2,−32,9).
  2. Módulo: vec aF=1raiz1109,(2,,-32,,9)
    3. Vetor unitário:

Passo 4

© Calcular G=l(-tfrac224,tfrac424,tfrac224r)=l(-tfrac112,tfrac16,tfrac112r) em (2,−2,4)
  1. Avalia F em (2,−2,4):
    Fx=2·2²=8
    Fy=−4·(−2)·4²=128
    Fz=3·(2−2−4)=−12
    F=(8,128,−12).
  2. Avalia G em (2,−2,4):
    numerador=(y, z, x)=(−2,4,2)
    denominador=2²+(−2)²+4²=4+4+16=24 Fcdot G=8l(-tfrac112r)+128l(tfrac16r)+(-12)l(tfrac112r) =-tfrac812+tfrac1286-1 =-tfrac23+tfrac643-1 =tfrac593approx19.67
    3. Produto escalar:
    $$F\cdot G=8\Bigl(-\tfrac1{12}\Bigr)+128\Bigl(\tfrac1{6}\Bigr)+(-12)\Bigl(\tfrac1{12}\Bigr)=-\tfrac{8}{12}+\tfrac{128}{6}-1
    =-\tfrac23+\tfrac{64}{3}-1=\tfrac{59}{3}\approx19.67.$$

Passo 5

(d) Ângulo entre F e G em (2,−2,4)
  1. Já temos F·G=59/3.
  2. Módulo de F: |F|=raiz8^2+128^2+(-12)^2=raiz64+16384+144=raiz16592=4raiz1037
    3. Módulo de G:
    $$|G|=\sqrt{\bigl(-\tfrac1{12}\bigr)2+\bigl(\tfrac1{6}\bigr)2+\bigl(\tfrac1{12}\bigr)^2}=\sqrt{\tfrac{1+4+1}{144}}=\sqrt{\tfrac6{144}}=\tfrac{1}{\sqrt{24}}. |G|=raizl(-tfrac112r)^2+l(tfrac16r)^2+l(tfrac112r)^2 =raiztfrac1+4+1144=raiztfrac6144=tfrac1raiz24Â\theta=\arccos!\Bigl(\frac{F\cdot G}{|F|,|G|}\Bigr)=\arccos!\Bigl(\frac{\tfrac{59}{3}}{4\sqrt{1037},\tfrac1{\sqrt{24}}}\Bigr)\approx41.8^\circ.$$

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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