Dados
e
, determinar: (a)
; (b)
; ©
no ponto (2,-2, 4); (d) o ângulo entre
e
no ponto
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede operações de vetores em pontos dados. A matéria é cálculo vetorial básico:
- módulo de um vetor (√(Fx²+Fy²+Fz²))
- vetor unitário (v/|v|)
- produto escalar (FxGx+FyGy+FzGz)
- ângulo entre vetores (θ=arccos[(F·G)/(|F||G|)])
Vamos usar essas fórmulas e avaliar F e G nos pontos indicados.
Passo 2
(a) Calcular |F(2,−1,3)|
- Avalia F em (2,−1,3):
Fx=2·2²=8
Fy=−4·(−1)·3²=36
Fz=3·(2+(−1)−3)=3·(−2)=−6
Logo F=(8,36,−6). - Módulo:
Passo 3
(b) Calcular o vetor unitário
em (−1,2,−2)
- Avalia F em (−1,2,−2):
Fx=2·(−1)²=2
Fy=−4·2·(−2)²=−4·2·4=−32
Fz=3·(−1+2−(−2))=3·3=9
Logo F=(2,−32,9). - Módulo:
3. Vetor unitário:
Passo 4
© Calcular
em (2,−2,4)
- Avalia F em (2,−2,4):
Fx=2·2²=8
Fy=−4·(−2)·4²=128
Fz=3·(2−2−4)=−12
F=(8,128,−12). - Avalia G em (2,−2,4):
numerador=(y, z, x)=(−2,4,2)
denominador=2²+(−2)²+4²=4+4+16=24
3. Produto escalar:
$$F\cdot G=8\Bigl(-\tfrac1{12}\Bigr)+128\Bigl(\tfrac1{6}\Bigr)+(-12)\Bigl(\tfrac1{12}\Bigr)=-\tfrac{8}{12}+\tfrac{128}{6}-1
=-\tfrac23+\tfrac{64}{3}-1=\tfrac{59}{3}\approx19.67.$$
Passo 5
(d) Ângulo entre F e G em (2,−2,4)
- Já temos F·G=59/3.
- Módulo de F:
3. Módulo de G:
$$|G|=\sqrt{\bigl(-\tfrac1{12}\bigr)2+\bigl(\tfrac1{6}\bigr)2+\bigl(\tfrac1{12}\bigr)^2}=\sqrt{\tfrac{1+4+1}{144}}=\sqrt{\tfrac6{144}}=\tfrac{1}{\sqrt{24}}.\theta=\arccos!\Bigl(\frac{F\cdot G}{|F|,|G|}\Bigr)=\arccos!\Bigl(\frac{\tfrac{59}{3}}{4\sqrt{1037},\tfrac1{\sqrt{24}}}\Bigr)\approx41.8^\circ.$$
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)