Dada a seguinte expressão ( \boldsymbol{x} e \boldsymbol{y} são vetores):
\nabla(\boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{x})
Usando notação indicial, responda: Se \boldsymbol{x} é o vetor posição, o que precisa acontecer com o vetor \boldsymbol{y} para que a expressão tenha como resultado apenas ele mesmo?

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\nabla\bigl(\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{x}\bigr)
usando notação indicial, e então achar a condição sobre o campo vetorial \boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}) para que o resultado seja apenas \boldsymbol{y} novamente. Vamos usar o fato de que em indicial notation \boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{x}=y_i\,x_i e que \nabla tem componentes \partial_k=\frac{\partial}{\partial x_k}.

Passo 2

Escrevemos o produto escalar em indicial e aplicamos a derivada:
\partial_k\bigl(y_i\,x_i\bigr) =\frac{\partial}{\partial x_k}(y_i\,x_i) =\underbrace{\frac{\partial x_i}{\partial x_k}}_{\displaystyle \delta_{ik}}\,y_i + x_i\,\frac{\partial y_i}{\partial x_k} =\delta_{ik}\,y_i + x_i\,\partial_k y_i.

Passo 3

Usando \delta_{ik}y_i=y_k, o componente k do vetor gradiente fica
\bigl[\nabla(\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{x})\bigr]_k = y_k + x_i\,\partial_k y_i.
Em forma vetorial isto é
\nabla(\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{x}) =\boldsymbol{y} + (\boldsymbol{x}\cdot\nabla)\,\boldsymbol{y}.

Passo 4

Para que
\nabla(\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y},
precisamos anular o segundo termo, ou seja
(\boldsymbol{x}\cdot\nabla)\,\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}.
Em indicial:
x_i\,\partial_i y_k=0\quad\forall k.
Isto significa que o campo \boldsymbol{y} não varia ao longo da direção radial do vetor posição \boldsymbol{x} (é homogêneo de grau zero).

Resposta

O vetor \boldsymbol{y} deve satisfazer
(\boldsymbol{x}\cdot\nabla)\,\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0},
ou seja, x_i\,\partial_i y_k=0 para todo k.

Exercícios relacionados