Para o campo de velocidade:
u=13 x1^2 x2 t e1+18 t^2(x2+x1) e2
Encontre uma expressão para calcular o tempo de trajetória de uma partícula qualquer (X1, X2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo de velocidade para uma partícula em movimento, descrito por:
u = 13 x1^2 x2 t , e1 + 18 t^2(x2 + x1) , e2
O objetivo é encontrar uma expressão que calcule o tempo de trajetória de uma partícula localizada em qualquer ponto (X1, X2). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e equações diferenciais que descrevem o movimento das partículas em um campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o campo de velocidade dado. A velocidade u em cada ponto (x1, x2) e tempo t é composta pelas componentes:
  • Na direção x1: u1 = 13 x1^2 x2 t
  • Na direção x2: u2 = 18 t^2 (x2 + x1)
Isso nos diz como a partícula se move em cada direção ao longo do tempo.

Passo 3

Para encontrar o tempo de trajetória até o ponto (X1, X2), precisamos relacionar as velocidades com as coordenadas de posição. Isso é feito usando as seguintes equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula:
dx1dt = 13 x1^2 x2 t
dx2dt = 18 t^2 (x2 + x1)
Nosso objetivo é resolver essas equações para obter t em função de (X1, X2).

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação diferencial:
dx1dt = 13 x1^2 x2 t
Para simplificar, podemos considerar que x1 e x2 são funções de t, ou seja, x1(t) e x2(t). No entanto, resolver essas equações de forma direta pode ser complicado devido à interdependência das variáveis. Por isso, vamos procurar uma relação entre x1 e x2.

Passo 5

Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
dx2dtdx1dt = 18 t^2 (x2 + x1)13 x1^2 x2 t
Simplificando:
dx2dx1 = 18 t (x2 + x1)13 x1^2 x2
Isso nos dá uma equação que relaciona x2 e x1 diretamente.

Passo 6

Agora, vamos tentar separar as variáveis e integrar. No entanto, devido à complexidade da equação, uma abordagem mais viável é assumir que existe uma relação direta entre X1, X2 e t, e isolar t.
A partir da primeira equação:
dx1dt = 13 x1^2 x2 t implies dt = dx113 x1^2 x2 t
E da segunda equação:
dx2dt = 18 t^2 (x2 + x1) implies dt = dx218 t^2 (x2 + x1)

Passo 7

Igualando as duas expressões para dt:
dx113 x1^2 x2 t = dx218 t^2 (x2 + x1)
Podemos simplificar e tentar isolar t:
Multiplicando ambos os lados por 13 cdot 18 x1^2 x2 t^2 (x2 + x1):
18 x1^2 x2 t (dx1) = 13 t (x2 + x1) dx2
Cancelando t dos dois lados:
18 x1^2 x2 dx1 = 13 (x2 + x1) dx2

Passo 8

Agora, podemos reorganizar a equação para encontrar uma relação entre x1 e x2:
18 x1^2 x213 (x2 + x1) dx1 = dx2
Isso é uma equação diferencial que pode ser integrada para encontrar a relação entre x1 e x2.

Passo 9

Integrando ambos os lados:
integral 18 x1^2 x213 (x2 + x1) dx1 = integral dx2
No entanto, devido à complexidade da integral do lado esquerdo, podemos considerar métodos de substituição ou buscar uma solução numérica, dependendo do contexto do problema.

Passo 10

Após integrar e encontrar a relação entre x1 e x2, podemos substituir na equação de dt para isolar t em função de (X1, X2). A resolução completa dependeria de condições iniciais específicas ou simplificações adicionais.

Resposta

A expressão para calcular o tempo de trajetória t em função das coordenadas (X1, X2) resulta da integração das equações diferenciais do campo de velocidade, conforme demonstrado nos passos acima. A forma exata de t(X1, X2) dependerá das integrais resolvidas e das condições iniciais fornecidas.

Exercícios relacionados