Para o seguinte campo de velocidade:
u=U0 x1L e1+U0L x2 e2
Para U0 e L constantes:
Calcule a aceleração Lagrangeana na direção x2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidade dado por:
u = U0 x1L e1 + U0L x2 e2
Precisamos calcular a aceleração Lagrangeana na direção a = partial upartial t + (u cdot nabla) u . Para isso, vamos usar a teoria de fluídica que fala sobre como as partículas de fluido aceleram dentro de um campo de velocidade. A fórmula da aceleração Lagrangeana é:
a = (u cdot nabla) u
Como o campo de velocidade não depende do tempo (não tem na equação), a primeira parte é zero. Então, nossa equação fica mais simples:
Vamos seguir passo a passo para calcular isso!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da velocidade u1 = U0 x1L :
u2 = U0 x2L
Aqui, é a componente na direção (ou ) e é na direção (ou ).

Passo 3

Agora, vamos calcular o operador a2 = u1 partial u2partial x1 + u2 partial u2partial x2 aplicado a :
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois multiplicar pelos componentes correspondentes de .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada de partial u2partial x1 = 0 em relação a partial u2partial x2 = U0L :
    Como , que não depende de , a derivada é:
  2. Derivada de em relação a :
    Aqui, a gente deriva em relação a :

Passo 5

Substituindo as derivadas que encontramos na expressão da aceleração:
a2 = ( U0 x1L ) times 0 + ( U0 x2L ) times U0L
Simplificando:
a2 = 0 + U0^2 x2L^2 = U0^2 x2L^2

Resposta

A aceleração Lagrangeana na direção a2 = U0^2L^2 , x2 é:

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