Para o seguinte campo de velocidade:
Para
e
constantes:
Calcule a aceleração Lagrangeana na direção
.
Calcule a aceleração Lagrangeana na direção
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidade dado por:
Precisamos calcular a aceleração Lagrangeana na direção
. Para isso, vamos usar a teoria de fluídica que fala sobre como as partículas de fluido aceleram dentro de um campo de velocidade. A fórmula da aceleração Lagrangeana é:
Como o campo de velocidade não depende do tempo (não tem
na equação), a primeira parte
é zero. Então, nossa equação fica mais simples:
Vamos seguir passo a passo para calcular isso!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da velocidade
:
Aqui,
é a componente na direção
(ou
) e
é na direção
(ou
).
Passo 3
Agora, vamos calcular o operador
aplicado a
:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e depois multiplicar pelos componentes correspondentes de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
-
Derivada de
em relação a : Como, que não depende de , a derivada é: -
Derivada de
em relação a : Aqui, a gente derivaem relação a :
Passo 5
Substituindo as derivadas que encontramos na expressão da aceleração:
Simplificando:
Resposta
A aceleração Lagrangeana na direção
é: