Para o seguinte campo de velocidade:
& u1=sin x2 & u2=cos x1
Calcule o potencial de velocidade e a função de corrente com as relações de Cauchy-Riemann.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um campo de velocidade definido por:
& u1 = sin x2 & u2 = cos x1
O objetivo é encontrar o potencial de velocidade e a função de corrente usando as relações de Cauchy-Riemann. Isso está dentro da matéria de Mecânica dos Fluidos, especificamente trabalhando com fluxo potencial e funções de corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são o potencial de velocidade (também chamado de função potencial) e a função de corrente. Em fluxos bidimensionais, essas duas funções nos ajudam a descrever o movimento do fluido de forma simplificada.
O potencial de velocidade, geralmente denotado por , está relacionado à parte “potencial” do fluxo, enquanto a função de corrente, denotada por , está associada à parte “rotacional”. As relações de Cauchy-Riemann conectam essas duas funções com as componentes do campo de velocidade.

Passo 3

As relações de Cauchy-Riemann para fluxo potencial nos dizem que:
partial phipartial x1 = u1
e
partial phipartial x2 = u2
Além disso, a função de corrente partial psipartial x1 = -u2 está relacionada de forma que:
partial psipartial x2 = u1
e
Essas equações nos permitem encontrar e integrando as componentes do campo de velocidade.

Passo 4

Vamos começar encontrando o potencial de velocidade partial phipartial x1 = u1 = sin x2 . Sabemos que:
phi = integral sin x2 , dx1 = sin x2 cdot x1 + f(x2)
Integrando em relação a partial phipartial x2 = u2 = cos x1 :
partial phipartial x2 = cos x1 cdot x1 + f'(x2) = cos x1
Aqui, cos x1 cdot x1 + f'(x2) = cos x1 é uma função que depende somente de phi = x1 cdot sin x2 .
Agora, vamos usar a segunda relação:
Derivando em relação a :
Para que isso seja válido para todo , precisamos que:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Portanto, o potencial de velocidade é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função de corrente partial psipartial x1 = -u2 = -cos x1 . Sabemos que:
psi = -integral cos x1 , dx1 = -sin x1 + g(x2)
Integrando em relação a partial psipartial x2 = u1 = sin x2 :
partial psipartial x2 = g'(x2) = sin x2
Aqui, g(x2) = -cos x2 + C é uma função que depende somente de psi = -sin x1 - cos x2 .
Usando a segunda relação:
Derivando em relação a :
Integrando:
Podemos considerar a constante como zero para simplificar.
Portanto, a função de corrente é:

Resposta

O potencial de velocidade é e a função de corrente é .

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