Para o seguinte campo de velocidade:
Calcule o potencial de velocidade e a função de corrente com as relações de Cauchy-Riemann.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um campo de velocidade definido por:
O objetivo é encontrar o potencial de velocidade e a função de corrente usando as relações de Cauchy-Riemann. Isso está dentro da matéria de Mecânica dos Fluidos, especificamente trabalhando com fluxo potencial e funções de corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são o potencial de velocidade (também chamado de função potencial) e a função de corrente. Em fluxos bidimensionais, essas duas funções nos ajudam a descrever o movimento do fluido de forma simplificada.
O potencial de velocidade, geralmente denotado por
, está relacionado à parte “potencial” do fluxo, enquanto a função de corrente, denotada por
, está associada à parte “rotacional”. As relações de Cauchy-Riemann conectam essas duas funções com as componentes do campo de velocidade.
Passo 3
As relações de Cauchy-Riemann para fluxo potencial nos dizem que:
e
Além disso, a função de corrente
está relacionada de forma que:
e
Essas equações nos permitem encontrar
e
integrando as componentes do campo de velocidade.
Passo 4
Vamos começar encontrando o potencial de velocidade
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
.
Agora, vamos usar a segunda relação:
Derivando
em relação a
:
Para que isso seja válido para todo
, precisamos que:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Portanto, o potencial de velocidade é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função de corrente
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
.
Usando a segunda relação:
Derivando
em relação a
:
Integrando:
Podemos considerar a constante
como zero para simplificar.
Portanto, a função de corrente é:
Resposta
O potencial de velocidade é
e a função de corrente é
.