Considera-se a seguinte função de corrente:
psi=6 cos x1 x2
Calcule o potencial de velocidade deste escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Mecânica dos Fluidos onde a função de corrente é dada por . Nosso objetivo aqui é calcular o potencial de velocidade desse escoamento. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de corrente e potencial de velocidade, que fazem parte do estudo do fluxo de fluidos em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função de corrente ( ). Ela nos ajuda a descrever o movimento do fluido de uma forma que as linhas de corrente representam as trajetórias das partículas do fluido. Para um escoamento incompressível e bidimensional, a velocidade do fluido pode ser obtida a partir das derivadas parciais da função de corrente.

Passo 3

Vamos encontrar as componentes da velocidade ( Vx = partial psipartial x2 e Vy = -partial psipartial x1 ) usando as seguintes relações:
Isso porque, em coordenadas cartesianas, essas derivadas relacionam a função de corrente com as velocidades nos eixos e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais da função de corrente partial psipartial x2 = 6 cdot (-sin(x1 x2)) cdot x1 = -6 x1 sin(x1 x2) :
Primeiro, a derivada de partial psipartial x1 = 6 cdot (-sin(x1 x2)) cdot x2 = -6 x2 sin(x1 x2) em relação a :
E agora, a derivada de em relação a :

Passo 5

Com as derivadas parciais, temos as componentes da velocidade:
Vx = -6 x1 sin(x1 x2)
Vy = -(-6 x2 sin(x1 x2)) = 6 x2 sin(x1 x2)

Passo 6

Agora, queremos encontrar o potencial de velocidade partial phipartial x1 = Vx , que satisfaz partial phipartial x2 = Vy . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 7

Integrando phi = integral Vx , dx1 = integral -6 x1 sin(x1 x2) , dx1 em relação a :
Aqui, usamos uma integração por partes. Vamos deixar e .

Passo 8

Aplicando a integração por partes:
u = x1 Rightarrow du = dx1
dv = sin(x1 x2) dx1 Rightarrow v = -cos(x1 x2)x2
Agora, aplicamos a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 9

Substituindo os valores:
phi = -6 ( x1 cdot ( -cos(x1 x2)x2 ) - integral ( -cos(x1 x2)x2 ) dx1 )
phi = -6 ( -x1 cos(x1 x2)x2 + 1x2 integral cos(x1 x2) dx1 )
A integral de em relação a é .

Passo 10

Continuando:
phi = -6 ( -x1 cos(x1 x2)x2 + 1x2 cdot sin(x1 x2)x2 )
phi = 6 ( x1 cos(x1 x2)x2 - sin(x1 x2)x2^2 ) + C
Onde é a constante de integração, que podemos considerar zero se estamos procurando apenas um potencial particular.

Passo 11

Verificamos se partial phipartial x2 = 6 ( -x1^2 sin(x1 x2)x2 - x1 cos(x1 x2)x2^2 - x2^2 cos(x1 x2) + 2x2 sin(x1 x2)x2^3 ) :
Após simplificação, verificamos que , confirmando que nosso potencial está correto.

Resposta

O potencial de velocidade é dado por:
phi = 6 ( x1 cos(x1 x2)x2 - sin(x1 x2)x2^2 )

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