Considera-se a seguinte função de corrente:
Calcule o potencial de velocidade deste escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Mecânica dos Fluidos onde a função de corrente é dada por
. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial de velocidade desse escoamento. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de corrente e potencial de velocidade, que fazem parte do estudo do fluxo de fluidos em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função de corrente (
). Ela nos ajuda a descrever o movimento do fluido de uma forma que as linhas de corrente representam as trajetórias das partículas do fluido. Para um escoamento incompressível e bidimensional, a velocidade do fluido pode ser obtida a partir das derivadas parciais da função de corrente.
Passo 3
Vamos encontrar as componentes da velocidade (
e
) usando as seguintes relações:
Isso porque, em coordenadas cartesianas, essas derivadas relacionam a função de corrente com as velocidades nos eixos
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais da função de corrente
:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
E agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Com as derivadas parciais, temos as componentes da velocidade:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o potencial de velocidade
, que satisfaz
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Aqui, usamos uma integração por partes. Vamos deixar
e
.
Passo 8
Aplicando a integração por partes:
Agora, aplicamos a fórmula:
Passo 9
Substituindo os valores:
A integral de
em relação a
é
.
Passo 10
Continuando:
Onde
é a constante de integração, que podemos considerar zero se estamos procurando apenas um potencial particular.
Passo 11
Verificamos se
:
Após simplificação, verificamos que
, confirmando que nosso potencial está correto.
Resposta
O potencial de velocidade é dado por: