Determine o campo de velocidades e a aceleração Lagrangeana do seguinte escoamento:
& x1=X1+3 t & x2=4 X2 t^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um escoamento descrito pelas equações de posição:
& x1 = X1 + 3 t & x2 = 4 X2t
Nosso objetivo aqui é encontrar o campo de velocidades e a aceleração Lagrangeana desse escoamento. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente a descrição Lagrangeana, que acompanha as partículas do fluido ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo de velocidades. No contexto Lagrangeano, a velocidade de uma partícula é a derivada das coordenadas positionais em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar e em relação a .

Passo 3

Vamos derivar dx1dt = ddt(X1 + 3 t) = 0 + 3 = 3 em relação ao tempo:
Aqui, é considerado constante em relação ao tempo porque estamos seguindo uma partícula específica.

Passo 4

Agora, vamos derivar dx2dt = ddt(4 X2t) = 4 X2 cdot ddt(t^-1) = 4 X2 cdot (-t^-2) = -4 X2t^2 em relação ao tempo:
Então, a componente da velocidade em é .

Passo 5

Agora que temos as derivadas, podemos escrever o campo de velocidades v = ( dx1dt, dx2dt ) = ( 3, -4 X2t^2 ) como:

Passo 6

Para encontrar a aceleração Lagrangeana, precisamos derivar novamente as componentes da velocidade em relação ao tempo.
Vamos começar com d^2x1dt^2 = ddt(3) = 0 :

Passo 7

Agora, derivamos d^2x2dt^2 = ddt(-4 X2t^2) = -4 X2 cdot ddt(t^-2) = -4 X2 cdot (-2 t^-3) = 8 X2t^3 :

Resposta

Portanto, o campo de velocidades é:
v = ( 3, -4 X2t^2 )
E a aceleração Lagrangeana é:
a = ( 0, 8 X2t^3 )

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