Determine o campo de velocidades e a aceleração Lagrangeana do seguinte escoamento:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um escoamento descrito pelas equações de posição:
Nosso objetivo aqui é encontrar o campo de velocidades e a aceleração Lagrangeana desse escoamento. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente a descrição Lagrangeana, que acompanha as partículas do fluido ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo de velocidades. No contexto Lagrangeano, a velocidade de uma partícula é a derivada das coordenadas positionais em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação ao tempo:
Aqui,
é considerado constante em relação ao tempo porque estamos seguindo uma partícula específica.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação ao tempo:
Então, a componente da velocidade em
é
.
Passo 5
Agora que temos as derivadas, podemos escrever o campo de velocidades
como:
Passo 6
Para encontrar a aceleração Lagrangeana, precisamos derivar novamente as componentes da velocidade em relação ao tempo.
Vamos começar com
:
Passo 7
Agora, derivamos
:
Resposta
Portanto, o campo de velocidades é:
E a aceleração Lagrangeana é: