Para um campo de velocidade em que
V=a x^2 i+b x y j
a=2 m^-1 s^-1 e b=-6 m^-1 s^-1 e as coordenadas são medidas em metros. O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional? Por quê? Calcule as componentes da velocidade no ponto (2,1 / 2). Deduza uma equação para a linha de corrente que passa por esse ponto. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante incluindo aquela que passa pelo ponto (2, 1/2). (Recomendado o uso do computador para traçar as linhas.)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos um campo de velocidade definido por $ \vec{V}=a x^{2} \hat{i}+b x y \hat{j} $, onde $ a=2 , m^{-1} s^{-1} $ e $ b=-6 , m^{-1} s^{-1} $. As coordenadas são medidas em metros. Precisamos determinar se o campo é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, calcular as componentes da velocidade no ponto $ (2, \frac{1}{2}) $, encontrar uma equação para a linha de corrente que passa por esse ponto e traçar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.
Para resolver, vamos precisar dos conceitos de campo de velocidade, dimensões do fluxo e linhas de corrente. Vamos por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar se o campo de velocidade é unidimensional, bidimensional ou tridimensional.
  • Unidimensional: O fluxo tem apenas uma componente de velocidade não nula.
  • Bidimensional: O fluxo tem duas componentes de velocidade não nulas.
  • Tridimensional: O fluxo tem três ou mais componentes de velocidade não nulas.
No nosso caso, temos $ \vec{V}=a x^{2} \hat{i}+b x y \hat{j} $. Não há componente na direção $ \hat{k} $. Portanto, o campo de fluxo é bidimensional.

Passo 3

Agora, vamos calcular as componentes da velocidade no ponto $ (2, \frac{1}{2}) $.
As componentes da velocidade são dadas por:
(2, 12)
Substituindo os valores:
Vx = a x^2, Vy = b x y
Vx = 2 times (2)^2 = 2 times 4 = 8 , m/s
Então, no ponto $ (2, \frac{1}{2}) $, as componentes da velocidade são $ V_x = 8 , m/s $ e $ V_y = -6 , m/s $.

Passo 4

Vamos deduzir uma equação para a linha de corrente que passa pelo ponto $ (2, \frac{1}{2}) $.
As linhas de corrente são curvas que seguem a direção do fluxo em cada ponto. Para um campo bidimensional $ \vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j} $, a equação diferencial das linhas de corrente é:
(2, 12)
Substituindo $ V_x $ e $ V_y $:
V = Vx i + Vy j
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = -6 $:
dydx = VyVx
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos resolver:
Vx
Integrando ambos os lados:
Vy
Onde $ C $ é a constante de integração.
Podemos reescrever isso como:
dydx = b x ya x^2 = b ya x
Para determinar $ C $, usamos o ponto $ (2, \frac{1}{2}) $:
a = 2
Portanto, a equação da linha de corrente é:
b = -6

Passo 5

Por fim, para traçar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante, além da que passa por $ (2, \frac{1}{2}) $, escolhemos diferentes valores para $ C $ na equação $ y = \frac{C}{x^{3}} $.
Por exemplo:
  • Para $ C = 1 $: $ y = \frac{1}{x^{3}} $
  • Para $ C = 2 $: $ y = \frac{2}{x^{3}} $
  • Para $ C = 4 $: $ y = \frac{4}{x^{3}} $
  • Para $ C = 8 $: $ y = \frac{8}{x^{3}} $
Estas equações representam as linhas de corrente no primeiro quadrante. Você pode usar um software de plotagem ou desenhá-las à mão, incluindo a linha que passa pelo ponto $ (2, \frac{1}{2}) $.

Resposta

O campo de escoamento é bidimensional. No ponto $ (2, \frac{1}{2}) $, as componentes da velocidade são $ V_x = 8 , m/s $ e $ V_y = -6 , m/s $. A equação da linha de corrente que passa por esse ponto é $ y = \frac{4}{x^{3}} $.

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