Dado o seguinte campo de velocidade:
V=(a x i-a y j)(2+cos w t)
em que a=3 s^-1, w=pi s^-1 e x e y são dados em metros. Determine: c) Essa linha de corrente irá mudar ao longo do tempo? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão nos dá um campo de velocidade V = (a x i - a y j)(2 + cos omega t), com a = 3 , s^-1 e omega = pi , s^-1. Precisamos descobrir se a linha de corrente (ou linha de fluxo) desse campo de velocidade muda com o tempo. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente sobre linhas de corrente e como elas se comportam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma linha de corrente. Uma linha de corrente é uma curva no fluxo onde, em cada ponto, a direção da curva coincide com a direção do vetor velocidade naquele ponto. Matematicamente, isso significa que, ao longo de uma linha de corrente, a derivada de y em relação a x é igual a $ \frac{V_y}{V_x} $.

Passo 3

Vamos escrever as componentes do nosso campo de velocidade:
Vx = a x (2 + cos omega t)
Vy = -a y (2 + cos omega t)
Aqui, Vx é a componente na direção x e Vy na direção y.

Passo 4

Para encontrar a equação da linha de corrente, usamos a relação:
dydx = VyVx
Substituindo Vx e Vy:
dydx = -a y (2 + cos omega t)a x (2 + cos omega t) = -yx
Legal, o termo (2 + cos omega t) cancela, e ficamos com dydx = -yx.

Passo 5

Agora, resolvemos essa equação diferencial:
dydx = -yx
Isso é uma equação separável. Podemos rearranjar os termos:
dyy = -dxx
Integrando ambos os lados:
ln |y| = -ln |x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Exponencializando para resolver para y:
y = Kx
Onde K = e^C é uma nova constante. Isso nos dá a equação geral das linhas de corrente:
y cdot x = K
Isso representa hipérboles que são simétricas em relação aos eixos.

Passo 7

Agora, vamos analisar se essa linha de corrente muda com o tempo. Observamos que a equação y cdot x = K não possui t na sua formulação final. Isso significa que a forma da linha de corrente é independente do tempo. Mesmo que o campo de velocidade dependa do tempo através do termo (2 + cos omega t), a equação da linha de corrente permanece a mesma para qualquer instante de tempo.

Resposta

Não, a linha de corrente não muda ao longo do tempo, pois sua equação y cdot x = constante é independente do tempo t.

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