Dado o seguinte campo de velocidade:
em que
e
e
são dados em metros. Determine: c) Essa linha de corrente irá mudar ao longo do tempo? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão nos dá um campo de velocidade
, com
e
. Precisamos descobrir se a linha de corrente (ou linha de fluxo) desse campo de velocidade muda com o tempo. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente sobre linhas de corrente e como elas se comportam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma linha de corrente. Uma linha de corrente é uma curva no fluxo onde, em cada ponto, a direção da curva coincide com a direção do vetor velocidade naquele ponto. Matematicamente, isso significa que, ao longo de uma linha de corrente, a derivada de
em relação a
é igual a $ \frac{V_y}{V_x} $.
Passo 3
Vamos escrever as componentes do nosso campo de velocidade:
Aqui,
é a componente na direção
e
na direção
.
Passo 4
Para encontrar a equação da linha de corrente, usamos a relação:
Substituindo
e
:
Legal, o termo
cancela, e ficamos com
.
Passo 5
Agora, resolvemos essa equação diferencial:
Isso é uma equação separável. Podemos rearranjar os termos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Exponencializando para resolver para
:
Onde
é uma nova constante. Isso nos dá a equação geral das linhas de corrente:
Isso representa hipérboles que são simétricas em relação aos eixos.
Passo 7
Agora, vamos analisar se essa linha de corrente muda com o tempo. Observamos que a equação
não possui
na sua formulação final. Isso significa que a forma da linha de corrente é independente do tempo. Mesmo que o campo de velocidade dependa do tempo através do termo
, a equação da linha de corrente permanece a mesma para qualquer instante de tempo.
Resposta
Não, a linha de corrente não muda ao longo do tempo, pois sua equação
é independente do tempo
.