( 1,0 ) O campo de velocidades da água em uma regiāo de um rio é modelado pelo campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(\operatorname{sen} x+y z) \vec{i}+\left(x^{2} z-\cos y\right) \vec{j}+\left(x y+z^{3}\right) \vec{k}. Determine o divergente e o rotacional de \vec{F}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial de velocidade da água
\vec{F}(x,y,z) = (\operatorname{sen} x + y\,z)\,\vec{i} + \bigl(x^{2}z - \cos y\bigr)\,\vec{j} + \bigl(x\,y + z^{3}\bigr)\,\vec{k}
e pede o divergente e o rotacional. O conteúdo necessário é o cálculo vetorial: lembramos que
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z},
\nabla\times\vec{F} = \Bigl(\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}\Bigr)\vec{i} + \Bigl(\frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x}\Bigr)\vec{j} + \Bigl(\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}\Bigr)\vec{k}.

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de cada componente:
F_{1} = \operatorname{sen} x + y\,z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial F_{1}}{\partial x} = \cos x, \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial y} = z, \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial z} = y.
F_{2} = x^{2}z - \cos y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x} = 2x\,z, \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial y} = \sin y, \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial z} = x^{2}.
F_{3} = x\,y + z^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial F_{3}}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial F_{3}}{\partial y} = x, \quad \frac{\partial F_{3}}{\partial z} = 3\,z^{2}.

Passo 3

Agora montamos o divergente:
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z} = \cos x + \sin y + 3\,z^{2}.

Passo 4

Para o rotacional, aplicamos a definição componente a componente.

Passo 5

Componente em \vec{i}:
(\nabla\times\vec{F})_{x} = \frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z} = x - x^{2}.

Passo 6

Componente em \vec{j}:
(\nabla\times\vec{F})_{y} = \frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x} = y - y = 0.

Passo 7

Componente em \vec{k}:
(\nabla\times\vec{F})_{z} = \frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y} = 2x\,z - z = z\,(2x - 1).

Resposta

\nabla\cdot\vec{F} = \cos x + \sin y + 3\,z^{2}, \qquad \nabla\times\vec{F} = (x - x^{2})\,\vec{i} + 0\,\vec{j} + z\,(2x - 1)\,\vec{k}.

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