(2,0) Determine as equaçōes do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y)=x y^{2} \cdot \operatorname{sen}(2 x y) no ponto (1, \pi, f(1, \pi)).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e a reta normal ao gráfico de
z = f(x,y),\quad f(x,y)=x\,y^2\sin(2xy),
no ponto \bigl(1,\pi,f(1,\pi)\bigr). Para isso, vamos calcular primeiro z_0=f(1,\pi), depois as derivadas parciais f_x e f_y em (1,\pi), usar a fórmula do plano tangente
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0)
e, em seguida, obter o vetor normal ao plano para escrever a reta normal.

Passo 2

Calcular
z_0 = f(1,\pi) = 1\cdot\pi^2\sin\bigl(2\cdot1\cdot\pi\bigr) = \pi^2\sin(2\pi) = 0.

Passo 3

Encontrar \displaystyle f_x(x,y). Aplicando produto e regra da cadeia,
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\,y^2\sin(2xy)\bigr] = y^2\sin(2xy) + x\,y^2\cos(2xy)\cdot(2y).
Em (1,\pi):
f_x(1,\pi) = \pi^2\sin(2\pi) + 2\cdot1\cdot\pi^3\cos(2\pi) = 0 + 2\pi^3 = 2\pi^3.

Passo 4

Encontrar \displaystyle f_y(x,y).
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[x\,y^2\sin(2xy)\bigr] = x\cdot2y\sin(2xy) + x\,y^2\cos(2xy)\cdot(2x).
Em (1,\pi):
f_y(1,\pi) = 2\pi\sin(2\pi) + 2\pi^2\cos(2\pi) = 0 + 2\pi^2 = 2\pi^2.

Passo 5

Montar a equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0)=(1,\pi,0):
z - 0 = 2\pi^3\,(x-1) + 2\pi^2\,(y-\pi),
ou seja,
\boxed{\,z = 2\pi^3(x-1) + 2\pi^2(y-\pi)\,}.

Passo 6

A reta normal passa por (1,\pi,0) e tem direção dada pelo vetor normal ao plano
n = \bigl(f_x(1,\pi),\,f_y(1,\pi),\,-1\bigr) = (2\pi^3,\,2\pi^2,\,-1).
Logo, em forma paramétrica,
\boxed{ \begin{cases} x = 1 + 2\pi^3\,t,\\\ y = \pi + 2\pi^2\,t,\\\ z = 0 - t. \end{cases} }

Resposta

Plano tangente:
z = 2\pi^3(x-1) + 2\pi^2(y-\pi).
Reta normal:
(x,y,z) = (1,\pi,0) + t\,(2\pi^3,\,2\pi^2,\,-1).

Exercícios relacionados