(1,5) Seja z=f(x, y) uma função diferenciável definida implicitamente pela equação e^{x y}+x^{2} y^{2} z^{3}=x y+3. Determine as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}. e^{x y}+x^{2} y^{2} z^{2}-x y-3=0

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função z=f(x,y) diferenciável definida implicitamente pela equação
e^{xy} + x^2y^2z^2 - xy - 3 = 0.
O conteúdo é diferenciação implícita para obter \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Vamos usar a fórmula geral
z_x = -\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y = -\frac{F_y}{F_z},
onde F(x,y,z)=0 representa a equação implícita.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = e^{xy} + x^2y^2z^2 - xy - 3.
Para aplicar a diferenciação implícita, precisamos calcular as derivadas parciais F_x, F_y e F_z.

Passo 3

Calculando F_x (derivando em relação a x, tratando y,z como constantes):
F_x = \frac{\partial}{\partial x}e^{xy} + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2y^2z^2\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}(xy) - \frac{\partial}{\partial x}(3).
Isso dá
F_x = y\,e^{xy} + 2xy^2z^2 - y.

Passo 4

Calculando F_y (derivando em relação a y, tratando x,z como constantes):
F_y = \frac{\partial}{\partial y}e^{xy} + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y^2z^2\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}(xy) - \frac{\partial}{\partial y}(3).
Isso dá
F_y = x\,e^{xy} + 2x^2yz^2 - x.

Passo 5

Calculando F_z (derivando em relação a z, tratando x,y como constantes):
F_z = \frac{\partial}{\partial z}e^{xy} + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^2y^2z^2\bigr) - \frac{\partial}{\partial z}(xy) - \frac{\partial}{\partial z}(3).
Isso dá
F_z = 2x^2y^2z.

Passo 6

Aplicando as fórmulas de diferenciação implícita:
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{y\,e^{xy} + 2xy^2z^2 - y}{2x^2y^2z},
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{x\,e^{xy} + 2x^2yz^2 - x}{2x^2y^2z}.

Passo 7

Podemos ainda fatorar y em F_x e x em F_y, se quisermos uma forma levemente mais compacta, mas já está completo.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y\,e^{xy} + 2x y^2 z^2 - y}{2x^2y^2z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x\,e^{xy} + 2x^2 y z^2 - x}{2x^2y^2z}.

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