[Retirada do livro de Cálculo do Sacha Friedli] Uma vassoura de 2 metros está apoiada numa parede. Seja A seu ponto de contato com o chão, B seu ponto de contato com a parede. A vassoura começa a escorregar, A se afastando da parede a uma velocidade de 0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) ( 0,5 pontos) Com qual velocidade B se aproxima do chão no instante em que A está a 1 m da parede?
(b) (Questão extra) O que acontece com a velocidade de B quando a distância de A à parede se aproxima de 2 m ?

Passo 1

O enunciado descreve uma vassoura de comprimento constante de 2 m com o pé em A deslizando para longe da parede a 0,8 m/s e o topo em B descendo pela parede. O conteúdo é de taxas relacionadas: vamos definir variáveis para a distância x de A à parede e a altura y de B ao chão, usar a relação de Pitágoras e diferenciar em relação ao tempo t.

Passo 2

Pela geometria do problema, a vassoura forma um triângulo retângulo, logo
x^2 + y^2 = 2^2 = 4.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a t, obtemos
2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\,\frac{dx}{dt} + y\,\frac{dy}{dt} = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 4

No instante em que x=1 m, a altura vale
y = \sqrt{4 - 1^2} = \sqrt{3}\\ \text{m}.
Como \frac{dx}{dt}=0{,}8 m/s, substituindo em
\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}
vem
\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 0{,}8 = -\frac{0{,}8}{\sqrt{3}}\\ \text{m/s}\approx -0{,}46\\ \text{m/s}.

Passo 5

O sinal negativo indica que y está diminuindo, ou seja, B se aproxima do chão a \tfrac{0,8}{\sqrt{3}}\approx0,46 m/s.

Passo 6

Quando x\to2 m, temos y\to0. Na fórmula
\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}
o denominador y tende a zero, fazendo \frac{dy}{dt}\to -\infty. Ou seja, teoricamente a velocidade de B cresce sem limite.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{0,8}{\sqrt{3}}\approx -0,46 m/s (aproximando-se do chão).
(b) À medida que x se aproxima de 2 m, \frac{dy}{dt} tende a -\infty, isto é, a velocidade de B cresce sem limite.

Exercícios relacionados