[Retirada do livro de Cálculo do Sacha Friedli] Uma vassoura de 2 metros está apoiada numa parede. Seja
seu ponto de contato com o chão,
seu ponto de contato com a parede. A vassoura começa a escorregar,
se afastando da parede a uma velocidade de
.
(a) ( 0,5 pontos) Com qual velocidade
se aproxima do chão no instante em que
está a 1 m da parede?
(b) (Questão extra) O que acontece com a velocidade de
quando a distância de
à parede se aproxima de
?
(a) ( 0,5 pontos) Com qual velocidade
(b) (Questão extra) O que acontece com a velocidade de
Passo 1
O enunciado descreve uma vassoura de comprimento constante de
m com o pé em
deslizando para longe da parede a
m/s e o topo em
descendo pela parede. O conteúdo é de taxas relacionadas: vamos definir variáveis para a distância
de
à parede e a altura
de
ao chão, usar a relação de Pitágoras e diferenciar em relação ao tempo
.
Passo 2
Pela geometria do problema, a vassoura forma um triângulo retângulo, logo
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação a
, obtemos
Passo 4
No instante em que
m, a altura vale
Como
m/s, substituindo em
vem
Passo 5
O sinal negativo indica que
está diminuindo, ou seja,
se aproxima do chão a
m/s.
Passo 6
Quando
m, temos
. Na fórmula
o denominador
tende a zero, fazendo
. Ou seja, teoricamente a velocidade de
cresce sem limite.
Resposta
(a)
m/s (aproximando-se do chão).
(b) À medida que se aproxima de
m,
tende a
, isto é, a velocidade de
cresce sem limite.
(b) À medida que