Faça o que se pede:
(a) Calcule a derivada direcional
, onde
e
é o versor de
. Interprete fisicamente o resultado.
(b) No ponto
, determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento e o valor da taxa de variação em tal vetor. Justifique a sua resposta.
(a) Calcule a derivada direcional
(b) No ponto
Passo 1
O enunciado pede dois itens para a função \r
no ponto
: \r
- (a) a derivada direcional de
na direção do versor de , com interpretação física; \r - (b) o vetor de direção e sentido de maior crescimento de
e a respectiva taxa de variação. \r
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
e depois o avaliamos em
. \r
As derivadas parciais são \r
As derivadas parciais são \r
Logo, em
: \r
Portanto \r
Passo 3
Para a derivada direcional em
, normalizamos
. \r
O módulo de é \r
O módulo de
logo o versor é \r
A derivada direcional é dado por
: \r
Passo 4
Fisicamente,
representa a taxa de variação de
por unidade de comprimento ao nos movermos a partir de
na direção de
. Como é negativa,
decresce nesse sentido.
Passo 5
O vetor que aponta na direção e sentido de maior crescimento de
é o próprio gradiente em
: \r
pois a derivada direcional é máxima quando a direção coincide com o gradiente.
Passo 6
A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente no ponto: \r
Resposta
(a)
. Isso indica que, ao nos deslocarmos no versor de
,
diminui à razão de
por unidade de comprimento. \r
(b) O vetor de maior crescimento é , e a taxa de variação máxima é
.
(b) O vetor de maior crescimento é