(2,0) Faça o que se pede:
(a) Calcule a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(-1,1), onde f(x, y)=x^{2} y+2 x y^{2}-4 x e \vec{u} é o versor de \vec{v}=(2,1). Interprete fisicamente o resultado.
(b) No ponto (-1,1), determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento e o valor da taxa de variação em tal vetor. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede dois itens para a função \r
f(x,y)=x^{2}y+2xy^{2}-4x\r
no ponto (-1,1): \r
  • (a) a derivada direcional de f na direção do versor de \vec v=(2,1), com interpretação física; \r
  • (b) o vetor de direção e sentido de maior crescimento de f e a respectiva taxa de variação. \r
    O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f e depois o avaliamos em (-1,1). \r
As derivadas parciais são \r
f_x(x,y)=2xy+2y^{2}-4, \quad f_y(x,y)=x^{2}+4xy.\r
Logo, em (-1,1): \r
f_x(-1,1)=2\cdot(-1)\cdot1+2\cdot1^{2}-4=-2+2-4=-4,
f_y(-1,1)=(-1)^{2}+4\cdot(-1)\cdot1=1-4=-3.\r
Portanto \r
\nabla f(-1,1)=(-4,\,-3).

Passo 3

Para a derivada direcional em \vec u, normalizamos \vec v=(2,1). \r
O módulo de \vec v é \r
\|\vec v\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5},\r
logo o versor é \r
\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\frac{2}{\sqrt5},\,\frac{1}{\sqrt5}\Bigr).\r
A derivada direcional é dado por \nabla f\cdot\vec u: \r
\frac{\partial f}{\partial \vec u}(-1,1) =\nabla f(-1,1)\cdot\vec u =(-4,-3)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr) =\frac{-8-3}{\sqrt5} =-\frac{11}{\sqrt5}.

Passo 4

Fisicamente, \frac{\partial f}{\partial \vec u}(-1,1)=-\tfrac{11}{\sqrt5} representa a taxa de variação de f por unidade de comprimento ao nos movermos a partir de (-1,1) na direção de \vec u. Como é negativa, f decresce nesse sentido.

Passo 5

O vetor que aponta na direção e sentido de maior crescimento de f é o próprio gradiente em (-1,1): \r
\vec v_{\text{max}}=\nabla f(-1,1)=(-4,-3),\r
pois a derivada direcional é máxima quando a direção coincide com o gradiente.

Passo 6

A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente no ponto: \r
\|\nabla f(-1,1)\| =\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{25} =5.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec u}(-1,1)=-\tfrac{11}{\sqrt5}. Isso indica que, ao nos deslocarmos no versor de (2,1), f diminui à razão de \tfrac{11}{\sqrt5} por unidade de comprimento. \r
(b) O vetor de maior crescimento é \nabla f(-1,1)=(-4,-3), e a taxa de variação máxima é \|\nabla f(-1,1)\|=5.

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