(1,5) O campo de velocidades da água em uma região de um río é modelado pelo campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\ln (x y) \vec{i}+\left(x z+y^{2}\right) \vec{j}+\left(2 x y+z^{2}\right) \vec{k}. Determine o divergente e o rotacional de \vec{F}.

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\ln(xy)\,\mathbf{i}+\bigl(xz+y^{2}\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(2xy+z^{2}\bigr)\,\mathbf{k}
e pede o divergente \div\vec{F} e o rotacional \curl\vec{F}. Vamos usar as definições
\div\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}, \qquad \curl\vec{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_{x} & \partial_{y} & \partial_{z}\\\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{vmatrix}.

Passo 2

Para o divergente, identifiquemos
F_{1}=\ln(xy),\quad F_{2}=xz+y^{2},\quad F_{3}=2xy+z^{2}.
Então
\div\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy) +\frac{\partial}{\partial y}(xz+y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(2xy+z^{2}).
Calculando cada derivada:
\partial_{x}\ln(xy)=\displaystyle\frac{1}{x}.
\partial_{y}(xz+y^{2})=2y.
\partial_{z}(2xy+z^{2})=2z.
Logo
\div\vec{F}=\frac{1}{x}+2y+2z.

Passo 3

Para o rotacional, montamos o determinante
\curl\vec{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_{x} & \partial_{y} & \partial_{z}\\\ \ln(xy) & xz+y^{2} & 2xy+z^{2} \end{vmatrix}.
Calculamos componente a componente:
– Em \mathbf{i}:
\partial_{y}(2xy+z^{2})-\partial_{z}(xz+y^{2}) =2x - x = x.
– Em \mathbf{j}:
\partial_{z}\ln(xy)-\partial_{x}(2xy+z^{2}) =0 - 2y = -2y.
– Em \mathbf{k}:
\partial_{x}(xz+y^{2})-\partial_{y}\ln(xy) =z - \frac{x}{xy} =z - \frac{1}{y}.
Portanto
\curl\vec{F} = x\,\mathbf{i} \;-\;2y\,\mathbf{j}\;+\;\Bigl(z - \tfrac{1}{y}\Bigr)\mathbf{k}.

Resposta

\displaystyle \div\vec{F}=\frac{1}{x}+2y+2z \displaystyle \curl\vec{F}=x\,\mathbf{i}-2y\,\mathbf{j}+\Bigl(z-\tfrac{1}{y}\Bigr)\,\mathbf{k}

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