(1,5) Seja z=f(x, y) uma função diferenciável definida implicitamente pela equação 2 x^{2}+y^{2}+x y z^{2}=2 x. Determine as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado diz que z=f(x,y) é definida implicitamente pela equação
2x^{2} + y^{2} + x\,y\,z^{2} = 2x.
O que precisamos é encontrar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Como a função está dada por uma relação implícita, vamos usar diferenciação implícita e a fórmula
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_{x}}{F_{z}},\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_{y}}{F_{z}},
onde definimos
F(x,y,z) = 2x^{2} + y^{2} + x\,y\,z^{2} - 2x = 0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F em relação a x, y e z.
Para F_{x} tratamos y e z como constantes:
F_{x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\,z^{2}\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\bigr).
Isso dá
F_{x} = 4x + 0 + y\,z^{2} - 2 = 4x + y\,z^{2} - 2.

Passo 3

Para F_{y} tratamos x e z como constantes:
F_{y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y\,z^{2}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\bigr).
Isso leva a
F_{y} = 0 + 2y + x\,z^{2} - 0 = 2y + x\,z^{2}.

Passo 4

Para F_{z} tratamos x e y como constantes:
F_{z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(2x^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,y\,z^{2}\bigr) - \frac{\partial}{\partial z}\bigl(2x\bigr).
Daí
F_{z} = 0 + 0 + x\,y\,\cdot 2z - 0 = 2x\,y\,z.

Passo 5

Aplicamos as fórmulas da diferenciação implícita:
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_{x}}{F_{z}} = -\frac{4x + y\,z^{2} - 2}{2x\,y\,z},
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_{y}}{F_{z}} = -\frac{2y + x\,z^{2}}{2x\,y\,z}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{4x + y\,z^{2} - 2}{2x\,y\,z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y + x\,z^{2}}{2x\,y\,z}.

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