(2,0) Considere a função dada por f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}, onde x=r \cos \theta e y=r \operatorname{sen} \theta. Utilizando a regra da cadeia, determine \frac{\partial f}{\partial r} e \frac{\partial f}{\partial \theta}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a regra da cadeia na função
f(x,y)=2x^2+y^2
sujeita às substituições
x = r\cos\theta, \quad y = r\operatorname{sen}\theta.
O objetivo é encontrar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial r}
e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \theta}.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y, e as derivadas de x e y em relação a r.
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y,
\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial r} = \operatorname{sen}\theta.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial r} = f_x\,\frac{\partial x}{\partial r} + f_y\,\frac{\partial y}{\partial r} = 4x\cos\theta + 2y\operatorname{sen}\theta.
Substituindo x = r\cos\theta e y = r\operatorname{sen}\theta:
\frac{\partial f}{\partial r} = 4\bigl(r\cos\theta\bigr)\cos\theta + 2\bigl(r\operatorname{sen}\theta\bigr)\operatorname{sen}\theta = 4r\cos^2\theta + 2r\operatorname{sen}^2\theta = r\bigl(4\cos^2\theta + 2\operatorname{sen}^2\theta\bigr).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a \theta:
\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\operatorname{sen}\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial \theta} = f_x\,\frac{\partial x}{\partial \theta} + f_y\,\frac{\partial y}{\partial \theta} = 4x\bigl(-r\operatorname{sen}\theta\bigr) + 2y\bigl(r\cos\theta\bigr).
Substituindo x = r\cos\theta e y = r\operatorname{sen}\theta:
\frac{\partial f}{\partial \theta} = -4r\cos\theta\;\bigl(r\operatorname{sen}\theta\bigr) + 2r\operatorname{sen}\theta\;\bigl(r\cos\theta\bigr) = -4r^2\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta + 2r^2\operatorname{sen}\theta\,\cos\theta = -2r^2\operatorname{sen}\theta\,\cos\theta.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial r} = r\bigl(4\cos^2\theta + 2\operatorname{sen}^2\theta\bigr) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \theta} = -2r^2\operatorname{sen}\theta\,\cos\theta

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