(2,0) O campo de velocidades do ar, numa câmara de simulação climática, é modelado pelo campo vetorial \vec{f}(x, y)=\left(x^{2} y+z\right) \vec{i}+\left(y z^{2}-x\right) \vec{j}+\left(e^{x}+y^{2} z\right) \vec{k}. Determine o divergente e o rotacional de \hat{f}.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \displaystyle \vec f(x,y,z) = \bigl(x^{2}y + z\bigr)\,\vec i + \bigl(yz^{2} - x\bigr)\,\vec j + \bigl(e^{x} + y^{2}z\bigr)\,\vec k
e pede (a) o divergente e (b) o rotacional. Vamos usar as definições de cálculo vetorial:
\displaystyle \mathrm{div}\,\vec f = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}
\displaystyle \nabla\times\vec f = \bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z}\bigr)\,\vec i + \bigl(\tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x}\bigr)\,\vec j + \bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,\vec k.

Passo 2

Vamos calcular o divergente. Identificando
P(x,y,z)=x^{2}y+z,\quad Q(x,y,z)=yz^{2}-x,\quad R(x,y,z)=e^{x}+y^{2}z,
temos
\frac{\partial P}{\partial x}=2xy,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=z^{2},\quad \frac{\partial R}{\partial z}=y^{2}.
Somando, obtemos
\mathrm{div}\,\vec f =2xy + z^{2} + y^{2}.

Passo 3

Agora o rotacional, usando a fórmula componente a componente:
– Componente \vec i:
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =2yz - 2yz = 0.
– Componente \vec j:
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =1 - e^{x}.
– Componente \vec k:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-1 - x^{2}.
Logo,
\nabla\times\vec f =0\,\vec i + (1 - e^{x})\,\vec j +(-1 - x^{2})\,\vec k.

Resposta

\mathrm{div}\,\vec f = 2xy + z^{2} + y^{2}, \qquad \nabla\times\vec f = 0\,\vec i + (1 - e^{x})\,\vec j +(-1 - x^{2})\,\vec k.

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