(1,5) Verifique se a função f(x, y)=x e^{x^{2}+y^{2}} é diferenciável no ponto (0,0). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x\,e^{x^{2}+y^{2}}
é diferenciável no ponto (0,0). Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade em \R^{2}: calcular as derivadas parciais em (0,0), formar o aproximante linear e mostrar que o resto R(x,y)=f(x,y)-L(x,y) satisfaz
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{R(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = e^{x^{2}+y^{2}} + x\cdot e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x = e^{x^{2}+y^{2}}\bigl(1+2x^{2}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x\cdot e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y = 2xy\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Em (0,0) temos
f(0,0)=0,\quad f_{x}(0,0)=1,\quad f_{y}(0,0)=0.

Passo 3

O aproximante linear de f em (0,0) é
L(x,y) = f(0,0) + f_{x}(0,0)\,x + f_{y}(0,0)\,y = 1\cdot x + 0\cdot y = x.

Passo 4

Definimos o resto
R(x,y) = f(x,y)-L(x,y) = x\,e^{x^{2}+y^{2}} - x = x\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}-1\bigr).

Passo 5

Mostramos que R(x,y) é de ordem menor que \sqrt{x^{2}+y^{2}}:
\frac{\lvert R(x,y)\rvert}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{\lvert x\rvert\,\bigl\lvert e^{x^{2}+y^{2}}-1\bigr\rvert}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,(e^{x^{2}+y^{2}}-1)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = e^{x^{2}+y^{2}}-1.
Como \lim_{(x,y)\to(0,0)}(e^{x^{2}+y^{2}}-1)=0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{R(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Logo, pela definição, f é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f(x,y)=x\,e^{x^{2}+y^{2}} é diferenciável no ponto (0,0).

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