Seja z=f(x, y) uma função diferenciável definida implicitamente pela equação \operatorname{sen}(x y)+z^{2} x y=x+y^{2}. Determine as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função z=f(x,y) definida implicitamente por
\operatorname{sen}(xy) + z^{2}\,x\,y = x + y^{2}.
O conteúdo é diferenciação implícita em funções de duas variáveis, e vamos usar o Teorema da Função Implícita, que diz
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z},
onde F(x,y,z)=0 é a equação implícita.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = \operatorname{sen}(xy) + z^{2}xy - x - y^{2}.
Então vale F(x,y,z(x,y))=0 para todo (x,y) no domínio.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F em relação a x,y,z, mantendo as outras variáveis constantes:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sen}(xy)\bigr] + \frac{\partial}{\partial x}\bigl[z^2xy\bigr] - \frac{\partial}{\partial x}[x] - 0 = y\cos(xy) + z^2\,y - 1,
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sen}(xy)\bigr] + \frac{\partial}{\partial y}\bigl[z^2xy\bigr] - 0 - \frac{\partial}{\partial y}[y^2] = x\cos(xy) + z^2\,x - 2y,
F_z = 0 + \frac{\partial}{\partial z}\bigl[z^2xy\bigr] - 0 - 0 = 2z\,x\,y.

Passo 4

Pelo Teorema da Função Implícita, temos
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{y\cos(xy) + y\,z^2 - 1}{2\,x\,y\,z},
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{x\cos(xy) + x\,z^2 - 2y}{2\,x\,y\,z}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y\cos(xy) + y\,z^2 - 1}{2\,x\,y\,z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x\cos(xy) + x\,z^2 - 2y}{2\,x\,y\,z}.

Exercícios relacionados