(2,0) Em um processo de fermentação, a taxa de produção de uma substância é modelada pela função f(x, y)=x^{2} y+x y^{2}, onde x representa a quantidade de oxigênio dissolvido e y representa a concentração de nutrientes no meio. Essas quantidades, por sua vez, dependem de dois parâmetros de controle: a rotação do agitador u e a temperatura do meio v, de acordo com as relações x=2 u+v e y=u^{2} v^{2}. Utilizando a regra da cadeia, determine \frac{\partial f}{\partial u} e \frac{\partial f}{\partial v}, ou seja, como a taxa de produção varia em função da rotação do agitador e da temperatura.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
f(x,y)=x^{2}y + x y^{2}
onde
x=2u+v,\quad y=u^{2}v^{2}
e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial u} e \frac{\partial f}{\partial v} usando a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos primeiro calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
Como
f(x,y)=x^{2}y + x y^{2},
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =2x\,y + y^{2} =y\,(2x + y),
\frac{\partial f}{\partial y} =x^{2} + 2x\,y =x\,(x + 2y).

Passo 3

Agora as derivadas de x e y em relação a u e v:
x=2u+v \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial u}=2, \quad \frac{\partial x}{\partial v}=1.
y=u^{2}v^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial u}=2u\,v^{2}, \quad \frac{\partial y}{\partial v}=2v\,u^{2}.

Passo 4

Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial u} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial f}{\partial v} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v}.
Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial u} = \bigl(2x\,y + y^{2}\bigr)\cdot 2 + \bigl(x^{2}+2x\,y\bigr)\cdot (2u\,v^{2}),
\frac{\partial f}{\partial v} = \bigl(2x\,y + y^{2}\bigr)\cdot 1 + \bigl(x^{2}+2x\,y\bigr)\cdot (2v\,u^{2}).

Passo 5

Se for preciso, podemos voltar a u e v usando x=2u+v e y=u^{2}v^{2}. Assim:
\frac{\partial f}{\partial u} =2\,y(2x+y) +2u\,v^{2}\,x(x+2y),
\frac{\partial f}{\partial v} =y(2x+y) +2v\,u^{2}\,x(x+2y),
onde x=2u+v e y=u^{2}v^{2}.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial u} &=2\,y\,(2x+y)\;+\;2u\,v^{2}\,x\,(x+2y), \\\ \frac{\partial f}{\partial v} &=y\,(2x+y)\;+\;2v\,u^{2}\,x\,(x+2y), \end{aligned} }
com x=2u+v e y=u^{2}v^{2}.

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