Em um processo de fermentação, a taxa de produção de uma substância é modelada pela função
, onde
representa a quantidade de oxigênio dissolvido e
representa a concentração de nutrientes no meio. Essas quantidades, por sua vez, dependem de dois parâmetros de controle: a rotação do agitador
e a temperatura do meio
, de acordo com as relações
e
. Utilizando a regra da cadeia, determine
e
, ou seja, como a taxa de produção varia em função da rotação do agitador e da temperatura.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção
onde
e pede as derivadas parciais
e
usando a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos primeiro calcular
e
.
Como
Como
temos
Passo 3
Agora as derivadas de
e
em relação a
e
:
Passo 4
Pela regra da cadeia:
Substituindo,
Passo 5
Se for preciso, podemos voltar a
e
usando
e
. Assim:
onde
e
.
Resposta
com
e
.