Exemplo 7. Calcule \int_{C}(x+y) d s, onde C é a metade superior do círculo unitário x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar sobre a semicircunferência superior do círculo unitário. Em termos de teoria, vamos usar parametrização da curva e o elemento de comprimento de arco ds para avaliar
\int_{C}(x+y)\,ds.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = (\cos t,\;\sin t),\quad t\in[0,\pi].
Então
r'(t) = (-\sin t,\;\cos t) \quad\Longrightarrow\quad \|r'(t)\| = \sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1,
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ds = \|r'(t)\|\,dt = dt.

Passo 3

Substituindo na integral de linha, temos
\int_{C}(x+y)\,ds = \int_{0}^{\pi}\bigl(\cos t + \sin t\bigr)\,dt.

Passo 4

Separamos em duas integrais simples:
\int_{0}^{\pi}\cos t\,dt \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\pi}\sin t\,dt.
Calculamos
\int_{0}^{\pi}\cos t\,dt = \sin t\Big|_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin0 = 0,
\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt = -\cos t\Big|_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos\pi\bigr)-\bigl(-\cos0\bigr) = (1)-(-1) = 2.

Passo 5

Somando os resultados das duas integrais, obtemos
0 + 2 = 2.

Resposta

2

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