O viscosímetro abaixo é composto por um cilíndro vertical de diâmetro 10 cm e um mancal de diâmetro
. A folga entre a parede lateral do cilindro e o mancal é preenchida com um óleo de viscosidade desconhecida. O mancal tem comprimento de 25 cm , e o momento (torque) aplicado ao cilindro é de
. Se o cilindro girar com uma frequência angular de 1500 rpm , determine a viscosidade do óleo em unidades MKS. Dado:
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou só listar o que foi dado, sem resolver ainda):
- Diâmetro do cilindro:
. - Diâmetro do mancal:
. - Comprimento do mancal (do trecho imerso/no contato):
. - Momento (torque) aplicado ao cilindro:
. - Velocidade de rotação do cilindro:
. - Conversão fornecida:
.
O que o problema pede:
- Determinar a viscosidade do óleo (unidade MKS:
) que preenche a folga entre o cilindro e o mancal.
Passo 2
Vamos primeiro converter todos os dados para o sistema MKS (SI) e calcular a geometria útil (raio e folga).
- Converter diâmetros para metros:
- Raios:
- Espessura da folga (distância radial entre cilindro e mancal):
- Comprimento em metros:
- Converter torque para N·m (usar
):
(Arredondarei quando for necessário.)
- Converter
para rad/s:
Passo 3
Agora explico o modelo físico que vamos usar (passo a passo e bem didático).
- O fluido entre o cilindro e o mancal sofre cisalhamento devido ao movimento angular do cilindro; assumimos um óleo Newtoniano (isto é, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade) e escoamento estacionário e laminar.
- A folga é extremamente pequena comparada ao raio (
): isso permite aproximar a região entre as superfícies curvas por um escoamento de tipo “Couette” entre superfícies praticamente paralelas. Nessa aproximação o gradiente de velocidade radial pode ser aproximado por
onde
é a velocidade tangencial do fluido e a superfície externa (mancal) está em repouso.
- Para um fluido Newtoniano a tensão de cisalhamento
é
onde
é a viscosidade dinâmica (o que queremos achar).
- A força de cisalhamento sobre a superfície cilíndrica de raio
e comprimento é . O torque gerado por essa força (força vezes braço ) é
- Substituindo
obtemos a fórmula, na aproximação de folga estreita:
- Desta expressão isolamos
:
Observação sobre validade: a aproximação foi possível porque
. Vamos verificar isso numericamente depois; se for satisfeito, a fórmula é apropriada.
Passo 4
Substituir os valores numéricos na fórmula e calcular
passo a passo.
- Reescrevendo a fórmula:
- Calcular
:
- Calcular o denominador
. Primeiro , então
Agora
.
Portanto
Portanto
- Calcular o numerador
:
- Finalmente
Arredondando de forma coerente com os dados (três algarismos significativos), podemos escrever
Passo 5
Verificação rápida da aproximação (tranquilo, é importante checar):
ou seja, a folga é cinco milésimos do raio — muito pequena — então a aproximação de Couette (folga estreita) é válida e a fórmula usada é apropriada.
Comentário prático e motivador: o resultado
corresponde a cerca de
centipoise (já que
), então é um óleo leve — isso faz sentido fisicamente para folgas tão finas e torques modestos. Você mandou bem pedindo para trabalhar com passo a passo — essa é exatamente a forma de lembrar na prova!