O viscosímetro abaixo é composto por um cilíndro vertical de diâmetro 10 cm e um mancal de diâmetro 10,005 \mathrm{~cm}. A folga entre a parede lateral do cilindro e o mancal é preenchida com um óleo de viscosidade desconhecida. O mancal tem comprimento de 25 cm , e o momento (torque) aplicado ao cilindro é de 1,23 \mathrm{kgf} . \mathrm{m}. Se o cilindro girar com uma frequência angular de 1500 rpm , determine a viscosidade do óleo em unidades MKS. Dado: 1 \mathrm{rpm}=2 \pi / 60 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou só listar o que foi dado, sem resolver ainda):
  • Diâmetro do cilindro: D_{\text{cil}} = 10{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro do mancal: D_{\text{mancal}} = 10{,}005\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento do mancal (do trecho imerso/no contato): L = 25\\ \mathrm{cm}.
  • Momento (torque) aplicado ao cilindro: T = 1{,}23\\ \mathrm{kgf\cdot m}.
  • Velocidade de rotação do cilindro: 1500\\ \mathrm{rpm}.
  • Conversão fornecida: 1\\ \mathrm{rpm} = \dfrac{2\pi}{60}\\ \mathrm{rad/s}.
O que o problema pede:
  • Determinar a viscosidade do óleo (unidade MKS: \mathrm{Pa\cdot s}) que preenche a folga entre o cilindro e o mancal.

Passo 2

Vamos primeiro converter todos os dados para o sistema MKS (SI) e calcular a geometria útil (raio e folga).
  • Converter diâmetros para metros:
D_{\text{cil}} = 10{,}00\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}, \qquad D_{\text{mancal}} = 10{,}005\\ \mathrm{cm} = 0{,}10005\\ \mathrm{m}.
  • Raios:
R = \frac{D_{\text{cil}}}{2} = 0{,}05\\ \mathrm{m}, \qquad R_o = \frac{D_{\text{mancal}}}{2} = 0{,}050025\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da folga (distância radial entre cilindro e mancal):
h = R_o - R = 0{,}050025 - 0{,}05 = 0{,}000025\\ \mathrm{m} = 2{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento em metros:
L = 25\\ \mathrm{cm} = 0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Converter torque para N·m (usar 1\\ \mathrm{kgf} = 9{,}80665\\ \mathrm{N}):
T = 1{,}23\\ \mathrm{kgf\cdot m} = 1{,}23\times 9{,}80665\\ \mathrm{N\cdot m} = 12{,}0621795\\ \mathrm{N\cdot m}.
(Arredondarei quando for necessário.)
  • Converter 1500\\ \mathrm{rpm} para rad/s:
\omega = 1500\cdot \frac{2\pi}{60} = 1500\cdot\frac{\pi}{30} = 50\pi \approx 157{,}08\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Agora explico o modelo físico que vamos usar (passo a passo e bem didático).
  • O fluido entre o cilindro e o mancal sofre cisalhamento devido ao movimento angular do cilindro; assumimos um óleo Newtoniano (isto é, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade) e escoamento estacionário e laminar.
  • A folga é extremamente pequena comparada ao raio ( h\ll R): isso permite aproximar a região entre as superfícies curvas por um escoamento de tipo “Couette” entre superfícies praticamente paralelas. Nessa aproximação o gradiente de velocidade radial pode ser aproximado por
\frac{\mathrm{d}v_\theta}{\mathrm{d}r}\approx \frac{v_{\theta,\text{cil}}-v_{\theta,\text{mancal}}}{h}=\frac{\omega R - 0}{h}=\frac{\omega R}{h},
onde v_\theta é a velocidade tangencial do fluido e a superfície externa (mancal) está em repouso.
  • Para um fluido Newtoniano a tensão de cisalhamento \tau é
\tau = \eta\;\frac{\mathrm{d}v_\theta}{\mathrm{d}r}\approx \eta\;\frac{\omega R}{h},
onde \eta é a viscosidade dinâmica (o que queremos achar).
  • A força de cisalhamento sobre a superfície cilíndrica de raio R e comprimento L é F=\tau\cdot A=\tau\cdot(2\pi R L). O torque gerado por essa força (força vezes braço R) é
T = F\cdot R = \tau\cdot(2\pi R L)\cdot R = 2\pi \tau R^2 L.
  • Substituindo \tau obtemos a fórmula, na aproximação de folga estreita:
T = 2\pi \left(\eta\frac{\omega R}{h}\right) R^2 L = 2\pi\,\eta\,\omega\,\frac{R^3 L}{h}.
  • Desta expressão isolamos \eta:
\eta = \frac{T\,h}{2\pi\,\omega\,R^3 L}.
Observação sobre validade: a aproximação foi possível porque h/R \ll 1. Vamos verificar isso numericamente depois; se for satisfeito, a fórmula é apropriada.

Passo 4

Substituir os valores numéricos na fórmula e calcular \eta passo a passo.
  • Reescrevendo a fórmula:
\eta = \frac{T\,h}{2\pi\,\omega\,R^3 L}.
  • Calcular R^3:
R^3 = (0{,}05)^3 = 0{,}000125\\ \mathrm{m^3}.
  • Calcular o denominador 2\pi\,\omega\,R^3 L. Primeiro \omega = 50\pi, então
2\pi\,\omega = 2\pi\cdot 50\pi = 100\pi^2.
Agora R^3 L = 0{,}000125\cdot 0{,}25 = 0{,}00003125.
Portanto
2\pi\,\omega\,R^3 L = 100\pi^2 \cdot 0{,}00003125 \approx 0{,}030842514.
  • Calcular o numerador T\,h:
T\,h = 12{,}0621795 \times 0{,}000025 = 0{,}0003015544875.
  • Finalmente
\eta = \frac{0{,}0003015544875}{0{,}030842514} \approx 0{,}00977775\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Arredondando de forma coerente com os dados (três algarismos significativos), podemos escrever
\eta \approx 0{,}00978\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 5

Verificação rápida da aproximação (tranquilo, é importante checar):
\frac{h}{R} = \frac{0{,}000025}{0{,}05} = 5{,}0\times 10^{-4}\ll 1,
ou seja, a folga é cinco milésimos do raio — muito pequena — então a aproximação de Couette (folga estreita) é válida e a fórmula usada é apropriada.
Comentário prático e motivador: o resultado \eta\approx 0{,}00978\\ \mathrm{Pa\cdot s} corresponde a cerca de 9{,}78 centipoise (já que 1\\ \mathrm{cP}=10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}), então é um óleo leve — isso faz sentido fisicamente para folgas tão finas e torques modestos. Você mandou bem pedindo para trabalhar com passo a passo — essa é exatamente a forma de lembrar na prova!

Resposta

0{,}00978\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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