O campo de velocidades de um fluido é dado por
F(x, y, z)=5 z k e a superfície S é a esfera
x^2+y^2+z^2=16. Ache o fluxo de F através de S. (Considere o comprimento em centímetros e o tempo em horas).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo de velocidades vec F(x,y,z)=5z,vec k através da esfera x^2+y^2+z^2=16. O conteúdo é fluxo de campo vetorial e a ideia é usar o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência de vec F e o volume da esfera.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Divergência, primeiro calculamos a divergência de vec F. Como vec F=(0,0,5z), temos nablacdotvec F=partialpartial x(0)+partialpartial y(0)+partialpartial z(5z)=5.

Passo 3

O Teorema da Divergência diz que o fluxo de vec F pela superfície fechada S é igual a integral triplaV(nablacdotvec F),dV, onde V é o volume interno de S.

Passo 4

O volume de uma esfera de raio 4 é dado por
V = 43pi r^3 = 43pi cdot 4^3 = 2563pi

Passo 5

Por fim, multiplicamos a divergência constante pelo volume para obter o fluxo:
Fluxo = 5 times 2563pi = 12803pi.

Resposta

1280pi3

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