Questão 1.
(
) Resolva o problema de valor inicial abaixo:
(
Passo 1
Neste problema temos uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial, onde
Temos y′=2xy + x√(1 + e^(−x²)) e y(0)=2√8/3. O conteúdo aqui é equação linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante para resolver.
Temos y′=2xy + x√(1 + e^(−x²)) e y(0)=2√8/3. O conteúdo aqui é equação linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro colocamos a ODE no formato padrão y′ − 2x·y = x√(1 + e^(−x²)). Isso nos mostra que é uma equação linear da forma y′ + P(x)y = Q(x), com P(x)=−2x e Q(x)=x√(1 + e^(−x²)).
Passo 3
Calculamos o fator integrante μ(x)=exp(∫P(x)dx)=exp(∫(−2x)dx)=exp(−x²). Multiplicando a equação por μ(x) obtemos
d/dx[y e^(−x²)] = x e^(−x²)√(1 + e^(−x²)).
d/dx[y e^(−x²)] = x e^(−x²)√(1 + e^(−x²)).
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Para a integral do lado direito usamos t = 1 + e^(−x²), de modo que dt = −2x e^(−x²)dx. Então
Passo 5
[
Passo 6
\int x e{−x{2}} \sqrt{1 + e{−x{2}}},dx = -\tfrac{1}{2} \int t^{1/2} !dt = -\tfrac{1}{3} t^{3/2} + C
Passo 7
],
Passo 8
e concluímos que
Passo 9
[
Passo 10
y e{−x{2}} = -\tfrac{1}{3}\bigl(1 + e{−x{2}}\bigr)^{3/2} + C
Passo 11
].
Passo 12
Para determinar C usamos y(0)=2√8/3 = 4√2/3. Substituindo x=0 na solução geral:
Passo 13
[
Passo 14
y(0)e^{0} = -\tfrac{1}{3}(1+1)^{3/2} + C ;\Longrightarrow; \tfrac{4\sqrt2}{3} = -\tfrac{2\sqrt2}{3} + C
Passo 15
],
Passo 16
o que dá C = 2√2.
Passo 17
Finalmente isolamos y(x):
Passo 18
[
Passo 19
y(x) = e{x{2}}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\bigl(1+e{−x{2}}\bigr)^{3/2} + 2\sqrt2\Bigr) = 2\sqrt2,e{x{2}} - \tfrac{1}{3}\bigl(e{x{2}}+1\bigr)^{3/2}.