Seja a superfície exterior do paraboloide , onde . Determinar , sendo F o campo vetorial F=(2 x, 2 y,-2 z).
Passo 1
O exercício pede pra gente calcular o fluxo do campo vetorial vec F=(2x,2y,-2z) através da parte exterior do paraboloide dado por z=x^2+y^2 com x^2+y^2<=4. O conteúdo é integral de superfície em cálculo vetorial e vamos precisar parametrizar a superfície, achar o vetor normal em função de (x,y) e depois integrar.
Passo 2
Primeiro, lembrar que se a superfície é dada por z=f(x,y), um vetor normal não unitário que aponta pra fora (lado exterior do ‘bowl’) é
n,dS = (-fx,,-fy,,1),dA
Aqui fx=2x e fy=2y, logo
n,dS = (-2x,,-2y,,1),dA
Passo 3
Agora avaliamos o produto escalar vec Fcdot n,dS. Como na superfície z=x^2+y^2, temos