Seja S a superfície exterior do paraboloide
r(x, y)=(x, y, x^2+y^2),(x, y) in R subset R^2, onde R=(x, y) / x^2+y^2 <= 4. Determinar
integral duplaS F cdot n d S, sendo F o campo vetorial
F=(2 x, 2 y,-2 z).

Passo 1

O exercício pede pra gente calcular o fluxo do campo vetorial vec F=(2x,2y,-2z) através da parte exterior do paraboloide dado por z=x^2+y^2 com x^2+y^2<=4. O conteúdo é integral de superfície em cálculo vetorial e vamos precisar parametrizar a superfície, achar o vetor normal em função de (x,y) e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, lembrar que se a superfície é dada por z=f(x,y), um vetor normal não unitário que aponta pra fora (lado exterior do ‘bowl’) é
n,dS = (-fx,,-fy,,1),dA
Aqui fx=2x e fy=2y, logo
n,dS = (-2x,,-2y,,1),dA

Passo 3

Agora avaliamos o produto escalar vec Fcdot n,dS. Como na superfície z=x^2+y^2, temos
vec F=(2x,2y,-2z)=(2x,2y,-2(x^2+y^2))
Então
vec Fcdot n,dS = (2x,2y,-2(x^2+y^2))cdot(-2x,-2y,1),dA = -4x^2 -4y^2 -2(x^2+y^2),dA = -6(x^2+y^2),dA

Passo 4

A integral de superfície vira uma integral dupla sobre o disco x^2+y^2<=4. Em coordenadas polares x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta. Assim
integral duplaSvec Fcdot n,dS = integral duplar<=2 -6r^2 ;r,dr,dtheta = -6integral0^2pi!integral0^2 r^3,dr,dtheta

Passo 5

Agora é só calcular:
integral0^2 r^3,dr = 2^44=4,
-6integral0^2pi4,dtheta = -24integral0^2pi dtheta = -24cdot2pi = -48pi

Resposta

-48\pi

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