Se (x, y, z) é solução do sistema linear homogêneo l0 x+10 y+5 z=0 4 x-10 y-15 z=0 2 x-10 y-10 z=0, e z neq 0, quanto vale x+yz ?

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares homogêneo com três variáveis: [x), e . O sistema é o seguinte:
Além disso, sabemos que .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar. A primeira equação já está bem simples:
10y + 5z = 0
Podemos dividir todos os termos por 5 para simplificar:
2y + z = 0 Rightarrow z = -2y
Agora, sabemos que z pode ser expresso em função de y.

Passo 3

Vamos substituir z = -2y na segunda equação do sistema:
4x - 10y - 15z = 0
Substituindo z:
4x - 10y - 15(-2y) = 0 4x - 10y + 30y = 0 4x + 20y = 0
Podemos dividir toda a equação por 4:
x + 5y = 0 Rightarrow x = -5y
Agora, temos x em função de y.

Passo 4

Vamos agora substituir x = -5y e z = -2y na terceira equação do sistema:
2x - 10y - 10z = 0
Substituindo:
2(-5y) - 10y - 10(-2y) = 0 -10y - 10y + 20y = 0 0 = 0
Isso confirma que nossas expressões para x e z em termos de y estão corretas.

Passo 5

Agora, queremos encontrar x + yz. Substituindo x = -5y e z = -2y:
x + yz = -5y + y-2y = -4y-2y = 2

Resposta

x + yz = 2

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