O campo de velocidades de um fluido tem a forma \vec{v}=\left(-k t x_{1}, 3 k t x_{3},-2 k t x_{3}\right), sendo k uma constante. Encontre a densidade de fluido como função do tempo, \rho(t).

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidades \displaystyle \vec{v}=(-k\,t\,x_{1},\;3\,k\,t\,x_{3},\;-2\,k\,t\,x_{3}),
com k constante, e pede a densidade \rho como função do tempo. O conteúdo principal é a conservação de massa em fluido compressível, expressa pela equação de continuidade.

Passo 2

A equação de continuidade para um fluido compressível é
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot(\rho\,\vec{v}) = 0.
Se a densidade for inicialmente uniforme, \rho=\rho(t) não depende de posição e \nabla\rho=0. Assim
\nabla\!\cdot(\rho\,\vec{v}) = \rho\,\nabla\!\cdot\vec{v},
e a continuidade reduz-se à ODE
\frac{d\rho}{dt} + \rho\,\nabla\!\cdot\vec{v} = 0.

Passo 3

Calculamos o divergente de \vec{v}:
\nabla\!\cdot\vec{v} = \frac{\partial(-k t x_{1})}{\partial x_{1}} +\frac{\partial(3k t x_{3})}{\partial x_{2}} +\frac{\partial(-2k t x_{3})}{\partial x_{3}} = -k t \;+\;0\;-\;2k t = -3k t.

Passo 4

Substituindo \nabla\cdot\vec{v}=-3k t na ODE obtemos
\frac{d\rho}{dt} - 3k\,t\,\rho = 0,
uma equação de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis.

Passo 5

Separamos variáveis e integramos:
\frac{1}{\rho}\,\frac{d\rho}{dt} = 3k\,t \;\Longrightarrow\; \int\frac{1}{\rho}\,d\rho = \int 3k\,t\,dt \;\Longrightarrow\; \ln\rho = \frac{3k\,t^{2}}{2} + C.
Exponenciando e impondo \rho(0)=\rho_{0} em t=0 C=\ln\rho_{0}. Logo
\rho(t) = \rho_{0}\,\exp\!\Bigl(\frac{3k\,t^{2}}{2}\Bigr).

Resposta

\rho(t) = \rho_{0}\,\exp\!\Bigl(\tfrac{3k\,t^{2}}{2}\Bigr).

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