O campo de velocidades de um fluido tem a forma
, sendo
uma constante. Encontre a densidade de fluido como função do tempo,
.
Passo 1
O enunciado nos dá um campo de velocidades
,
com constante, e pede a densidade
como função do tempo. O conteúdo principal é a conservação de massa em fluido compressível, expressa pela equação de continuidade.
com
Passo 2
A equação de continuidade para um fluido compressível é
Se a densidade for inicialmente uniforme,
não depende de posição e
. Assim
e a continuidade reduz-se à ODE
Passo 3
Calculamos o divergente de
:
Passo 4
Substituindo
na ODE obtemos
uma equação de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis.
Passo 5
Separamos variáveis e integramos:
Exponenciando e impondo
em
dá
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