Considere o mapa de deformações dado por
\begin{aligned} & x_{1}=X_{1}+k X_{2}^{2} \\\ & x_{2}=X_{2}-k X_{1}^{2} \\\ & x_{3}=X_{3} \end{aligned}
sendo k uma constante.
a) Escreva o tensor de deformação L_{i j}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial X_{i}}+\frac{\partial u_{k}}{\partial X_{i}} \frac{\partial u_{k}}{\partial X_{j}}\right).
b) Reescreva o tensor acima assumindo k muito pequeno, de modo que termos da ordem \sim k^{2} podem ser desprezados.
c) Escreva o tensor de deformação linear \varepsilon_{i j}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right) para a transformação acima, e verifique que ele coincide com aquele obtido no item anterior.

Passo 1

O enunciado nos dá o mapeamento
\begin{aligned} x_{1}&=X_{1}+k\,X_{2}^{2},\\\ x_{2}&=X_{2}-k\,X_{1}^{2},\\\ x_{3}&=X_{3}, \end{aligned}
onde k é constante. Definimos o vetor de deslocamento \mathbf{u}=\mathbf{x}-\mathbf{X}, e queremos:
a) o tensor de Green–Lagrange
L_{ij}=\tfrac12\Bigl(\frac{\partial u_i}{\partial X_j}+\frac{\partial u_j}{\partial X_i}+\frac{\partial u_k}{\partial X_i}\frac{\partial u_k}{\partial X_j}\Bigr),
b) sua forma aproximada desprezando termos \mathcal O(k^2),
c) o tensor de deformação linear
\varepsilon_{ij}=\tfrac12\Bigl(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\Bigr)
e verificar que dá o mesmo resultado de (b).

Passo 2

Primeiro escrevemos os componentes do deslocamento
\begin{aligned} u_1&=x_1-X_1=k\,X_2^2,\\\ u_2&=x_2-X_2=-k\,X_1^2,\\\ u_3&=x_3-X_3=0. \end{aligned}
Em seguida calculamos as derivadas \partial u_i/\partial X_j:
\frac{\partial u_1}{\partial X_1}=0,\quad \frac{\partial u_1}{\partial X_2}=2k\,X_2,\quad \frac{\partial u_1}{\partial X_3}=0,
\frac{\partial u_2}{\partial X_1}=-2k\,X_1,\quad \frac{\partial u_2}{\partial X_2}=0,\quad \frac{\partial u_2}{\partial X_3}=0,
\frac{\partial u_3}{\partial X_j}=0\quad(j=1,2,3).

Passo 3

Agora montamos L_{ij}. Para as componentes diagonais:
L_{11} =\tfrac12\Bigl(0+0 +(\partial_{X_1}u_1)^2+(\partial_{X_1}u_2)^2+(\partial_{X_1}u_3)^2\Bigr) =\tfrac12\bigl(0+(-2kX_1)^2\bigr) =2k^2X_1^2,
L_{22} =\tfrac12\bigl((2kX_2)^2+0\bigr) =2k^2X_2^2,
L_{33}=0.
Para a componente mista L_{12}=L_{21}:
L_{12} =\tfrac12\Bigl(\partial_{X_2}u_1+\partial_{X_1}u_2 +(\partial_{X_1}u_1)(\partial_{X_2}u_1)+(\partial_{X_1}u_2)(\partial_{X_2}u_2)\Bigr)
=\tfrac12\bigl(2kX_2 +(-2kX_1) +0+0\bigr) =\tfrac12\cdot2k\,(X_2-X_1) =k\,(X_2-X_1).
As demais são nulas. Portanto, exatamente,
L_{ij}= \begin{pmatrix} 2k^2X_1^2 & k\,(X_2-X_1) & 0\\[6pt] k\,(X_2-X_1) & 2k^2X_2^2 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para k muito pequeno desprezamos \mathcal O(k^2). Assim 2k^2X_1^2 e 2k^2X_2^2 somem, sobrando apenas
L_{ij}\approx \begin{pmatrix} 0 & k\,(X_2-X_1) & 0\\[3pt] k\,(X_2-X_1) & 0 & 0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

No regime linear usamos
\varepsilon_{ij} =\tfrac12\Bigl(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\Bigr).
Como x_j=X_j+\mathcal O(k), até \mathcal O(k) vale \partial/\partial x_j\approx\partial/\partial X_j. Logo
\varepsilon_{12} =\tfrac12\bigl(\partial_{X_2}u_1+\partial_{X_1}u_2\bigr) =\tfrac12\bigl(2kX_2-2kX_1\bigr) =k\,(X_2-X_1),
e \varepsilon_{11}=\varepsilon_{22}=\varepsilon_{33}=0, demais nulas.

Resposta

a)
L_{ij}= \begin{pmatrix} 2k^2X_1^2 & k\,(X_2-X_1) & 0\\[6pt] k\,(X_2-X_1) & 2k^2X_2^2 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
b)
L_{ij}\approx \begin{pmatrix} 0 & k\,(X_2-X_1) & 0\\[3pt] k\,(X_2-X_1) & 0 & 0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
c)
\varepsilon_{ij}= \begin{pmatrix} 0 & k\,(X_2-X_1) & 0\\[3pt] k\,(X_2-X_1) & 0 & 0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix},
que coincide com (b).]

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