A deformação de um material é descrita pelo seguinte mapa de deformações:
Para pontos
e
de coordenadas
e
, determine:
a) A distância dos pontos à origem antes e depois da deformação.
b) A distância entre os pontos e o ângulo entre eles antes e após a deformação. O que se pode concluir acerca da natureza dessa deformação?
a) A distância dos pontos à origem antes e depois da deformação.
b) A distância entre os pontos e o ângulo entre eles antes e após a deformação. O que se pode concluir acerca da natureza dessa deformação?
Passo 1
O enunciado nos dá o mapa de deformação
e pede:
a) a distância de cada ponto à origem antes e depois da deformação;
b) a distância entre os pontos e o ângulo entre eles antes e depois.
O que vamos usar é cálculo de norma de vetor, diferença de vetores e produto escalar para obter distâncias e ângulo.
a) a distância de cada ponto à origem antes e depois da deformação;
b) a distância entre os pontos e o ângulo entre eles antes e depois.
O que vamos usar é cálculo de norma de vetor, diferença de vetores e produto escalar para obter distâncias e ângulo.
Passo 2
Primeiro, as posições iniciais são
– Norma de
:
– Norma de
:
– Distância entre
e
:
– Ângulo
entre
e
:
o produto escalar é
o produto escalar é
logo
Passo 3
Agora aplicamos o mapa a
e
.
Para :
Para
Ou seja,
.
Para :
Para
Ou seja,
.
Passo 4
Calculamos as mesmas quantidades para
e
.
– Norma de :
– Norma de
– Norma de
:
– Distância
: como se trata de rotação, ela preserva distâncias, logo
.
– Produto escalar e cos
: também preservados, portanto
– Produto escalar
Passo 5
Vimos que todas as distâncias e o ângulo se mantêm iguais antes e depois da deformação. Isso caracteriza uma deformação rígida (rotação em torno do eixo
de
), sem alongamento nem cisalhamento.
Resposta
Conclusão: é uma deformação rígida (rotação).