A deformação de um material é descrita pelo seguinte mapa de deformações:
\begin{aligned} x_{1} & =\frac{\sqrt{3}}{2} X_{1}-\frac{1}{2} X_{2} \\\ x_{2} & =\frac{1}{2} X_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} X_{2} \\\ x_{3} & =X_{3} \end{aligned}
Para pontos P e Q de coordenadas P=(0,-1,1) e Q=(1,1,-1), determine:
a) A distância dos pontos à origem antes e depois da deformação.
b) A distância entre os pontos e o ângulo entre eles antes e após a deformação. O que se pode concluir acerca da natureza dessa deformação?

Passo 1

O enunciado nos dá o mapa de deformação
x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}X_{1} - \frac{1}{2}X_{2},\quad x_{2} = \frac{1}{2}X_{1} + \frac{\sqrt{3}}{2}X_{2},\quad x_{3} = X_{3},
e pede:
a) a distância de cada ponto à origem antes e depois da deformação;
b) a distância entre os pontos e o ângulo entre eles antes e depois.
O que vamos usar é cálculo de norma de vetor, diferença de vetores e produto escalar para obter distâncias e ângulo.

Passo 2

Primeiro, as posições iniciais são
P=(0,-1,1),\quad Q=(1,1,-1).
– Norma de P:
\|P\| = \sqrt{0^{2}+(-1)^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}.
– Norma de Q:
\|Q\| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{3}.
– Distância entre P e Q:
d(P,Q) = \|Q-P\| = \sqrt{(1-0)^{2} + (1-(-1))^{2} + (-1-1)^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.
– Ângulo \theta entre P e Q:
o produto escalar é
P\cdot Q = 0\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot(-1) = -2,
logo
\cos\theta = \frac{P\cdot Q}{\|P\|\,\|Q\|} = \frac{-2}{\sqrt{2}\,\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}.

Passo 3

Agora aplicamos o mapa a P e Q.
Para P:
x_{1}^{P} = \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot0 - \tfrac12\cdot(-1) = \tfrac12, \quad x_{2}^{P} = \tfrac12\cdot0 + \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot(-1) = -\tfrac{\sqrt3}{2}, \quad x_{3}^{P}=1.
Ou seja, x^{P}=(\tfrac12,\,-\tfrac{\sqrt3}{2},\,1).
Para Q:
x_{1}^{Q} = \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot1 - \tfrac12\cdot1 = \frac{\sqrt3-1}{2}, \quad x_{2}^{Q} = \tfrac12\cdot1 + \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot1 = \frac{1+\sqrt3}{2}, \quad x_{3}^{Q}=-1.
Ou seja, x^{Q}=(\tfrac{\sqrt3-1}{2},\,\tfrac{1+\sqrt3}{2},\,-1).

Passo 4

Calculamos as mesmas quantidades para x^{P} e x^{Q}.
– Norma de x^{P}:
\|x^{P}\| = \sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2} + \bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac34 + 1} = \sqrt{2}.
– Norma de x^{Q}:
\|x^{Q}\| = \sqrt{\Bigl(\tfrac{\sqrt3-1}{2}\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{1+\sqrt3}{2}\Bigr)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{ \bigl(1-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) + \bigl(1+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) +1} = \sqrt{3}.
– Distância d(x^{P},x^{Q}): como se trata de rotação, ela preserva distâncias, logo d(x^{P},x^{Q})=3.
– Produto escalar x^{P}\cdot x^{Q} e cos  \theta': também preservados, portanto
\cos\theta' = -\frac{\sqrt{6}}{3}.

Passo 5

Vimos que todas as distâncias e o ângulo se mantêm iguais antes e depois da deformação. Isso caracteriza uma deformação rígida (rotação em torno do eixo X_{3} de 30^\circ), sem alongamento nem cisalhamento.

Resposta

\|P\|=\sqrt2,\;\|Q\|=\sqrt3, ambos preservados após a deformação.
d(P,Q)=3, preservada após a deformação.
\cos\theta = -\tfrac{\sqrt6}{3}, também preservado.
Conclusão: é uma deformação rígida (rotação).

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