(Questão RecP3) Um bloco de 2 kg está em repouso em uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo \times é aplicada ao bloco. A força é dada por F(x)=\left(2,5-x^{2}\right) N, em que x está em metros e a posição inicial do bloco é \mathrm{x}_{0}=0 \mathrm{~m}. Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto x=2 m ?

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa 2\,\mathrm{kg} inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, sujeito a uma força variável ao longo do eixo x dada por
F(x) = \bigl(2,5 - x^2\bigr)\,\mathrm{N},
com posição inicial x_0 = 0\,\mathrm{m}. Queremos achar a energia cinética do bloco ao chegar em x=2\,\mathrm{m}. Para isso usaremos o teorema trabalho–energia, que relaciona o trabalho realizado pela força à variação da energia cinética.

Passo 2

O teorema trabalho–energia diz que
W = \Delta K = K(2) - K(0).
Como o bloco parte do repouso, K(0)=0, logo
K(2) = W.

Passo 3

O trabalho W realizado pela força variável ao deslocar-se de x=0 até x=2 é dado pela integral
W = \int_{0}^{2} F(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{2} \bigl(2,5 - x^2\bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Vamos avaliar a integral:
\int_{0}^{2} \bigl(2,5 - x^2\bigr)\,\mathrm{d}x = \left[\,2,5\,x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = 2,5\cdot2 - \frac{2^3}{3} = 5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}\,\mathrm{J}.
Portanto o trabalho é W = \tfrac{7}{3}\,\mathrm{J}, que é justamente a energia cinética adquirida pelo bloco.

Resposta

A energia cinética ao passar por x=2\,\mathrm{m} é
K = \frac{7}{3}\,\mathrm{J}\approx 2{,}33\,\mathrm{J}.

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