O Campo de Velocidades. A velocidade da água em um canal pode ser descrita pelo campo vetorial \vec{v}(x)=(0.5 x) \hat{i}+(0) \hat{j}. Isso significa que a velocidade só existe na direção x e aumenta conforme nos afastamos da origem.
a) Qual é o vetor velocidade no ponto x=2 \mathrm{~m} ?
b) Qual é o vetor velocidade no ponto x=10 \mathrm{~m} ?
c) Este escoamento é dito “uniforme”? Por quê?

Passo 1

O enunciado apresenta o campo de velocidades unidimensional
\vec{v}(x) = (0,5\,x)\,\hat{\imath} + 0\,\hat{\jmath},
e pede:
– a) avaliar \vec{v} em x=2\text{ m},
– b) avaliar \vec{v} em x=10\text{ m},
– c) verificar se o escoamento é uniforme.
Para isso precisamos apenas substituir x nos pontos indicados e lembrar que um escoamento é uniforme quando a velocidade não depende da posição.

Passo 2

Avaliar o vetor velocidade em x=2 m:
\vec{v}(2) = \bigl(0,5 \times 2\bigr)\,\hat{\imath} = 1\,\hat{\imath}.

Passo 3

Avaliar o vetor velocidade em x=10 m:
\vec{v}(10) = \bigl(0,5 \times 10\bigr)\,\hat{\imath} = 5\,\hat{\imath}.

Passo 4

Um escoamento é dito uniforme se \vec{v} for constante em todo o domínio, ou seja, se
\frac{\partial \vec{v}}{\partial x} = \vec{0}.
Aqui temos
\frac{\partial v_x}{\partial x} = 0,5 \neq 0,
logo a velocidade varia com x e o escoamento não é uniforme.

Resposta

a) \vec{v}(2\text{ m}) = 1\,\hat{\imath} m/s
b) \vec{v}(10\text{ m}) = 5\,\hat{\imath} m/s
c) Não. O escoamento não é uniforme porque a velocidade varia com a posição \partial v_x/\partial x = 0,5 \neq 0.

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