(Conceitual/Matemático) A lei da conservação do momento angular estabelece que, na ausência de torque externo,
L_{i}=L_{f}
Mostre, em termos da energia de rotação, que uma patinadora ao reduzir o seu momento de inércia I aumenta a velocidade angular \omega, e discuta por que sua energia cinética de rotação aumenta mesmo sem torque externo atuando.

Passo 1

O enunciado fala da conservação do momento angular, que em ausência de torque externo diz
L_i = L_f.
Aqui queremos mostrar, em termos da energia de rotação, que se uma patinadora reduz seu momento de inércia I ela aumenta sua velocidade angular \omega, e explicar por que sua energia cinética de rotação aumenta mesmo não havendo torque externo.

Passo 2

Da conservação do momento angular temos
I_i\,\omega_i = I_f\,\omega_f.
Isolando \omega_f resulta
\omega_f = \frac{I_i}{I_f}\,\omega_i.
Como I_f<I_i, segue \omega_f>\omega_i.

Passo 3

A energia cinética de rotação é
E_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2}I\,\omega^2.
Então a energia inicial é
E_i = \tfrac{1}{2}I_i\,\omega_i^2
e a final é
E_f = \tfrac{1}{2}I_f\,\omega_f^2.
Substituindo \omega_f obtido no passo anterior:
E_f = \tfrac{1}{2}I_f\bigl(\tfrac{I_i}{I_f}\,\omega_i\bigr)^2 = \tfrac{1}{2}\,\frac{I_i^2}{I_f}\,\omega_i^2.
Como \tfrac{I_i^2}{I_f} > I_i (pois I_i/I_f>1), temos
E_f > E_i.

Passo 4

Não há torque externo, logo o momento angular se conserva. Entretanto, ao recolher os braços para diminuir I, a patinadora realiza trabalho interno contra forças centrífugas. Esse trabalho muscular transfere energia química em energia cinética de rotação, elevando E_{\text{rot}} mesmo sem torque externo.

Resposta

A redução de I faz \omega subir segundo
\omega_f=\frac{I_i}{I_f}\,\omega_i,
e a energia rotacional aumenta
E_f=\frac{1}{2}\frac{I_i^2}{I_f}\,\omega_i^2 > E_i,
porque a patinadora faz trabalho interno ao aproximar os braços.

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