Um campo vetorial
é chamado de irrotacional se
. Por sua vez,
é dito incompressível se
.
(b) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
é incompressível.
(b) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo campo vetorial da forma
é incompressível, isto é, satisfaz
O conteúdo principal aqui é aplicar a definição de divergência de um campo vetorial e usar que cada componente depende apenas de duas das três variáveis.
Passo 2
Lembrando a definição de divergência: para
,
temos
temos
Passo 3
No nosso caso,
,
e
. Então:
pois
não depende de
;
pois
não depende de
;
pois
não depende de
.
Resposta
Como cada termo da divergência é zero, concluímos que
logo
é incompressível.