Um campo vetorial F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k é chamado de irrotacional se rot F=0. Por sua vez, F é dito incompressível se div F=0.
(b) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z)=f(y, z) i+g(x, z) j+h(x, y) k
é incompressível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo campo vetorial da forma
vec F(x,y,z)=f(y,z),vec i + g(x,z),vec j + h(x,y),vec k
é incompressível, isto é, satisfaz
div,vec F = 0
O conteúdo principal aqui é aplicar a definição de divergência de um campo vetorial e usar que cada componente depende apenas de duas das três variáveis.

Passo 2

Lembrando a definição de divergência: para
vec F(x,y,z)=P(x,y,z),vec i + Q(x,y,z),vec j + R(x,y,z),vec k,
temos
div,vec F =partial Ppartial x +partial Qpartial y +partial Rpartial z

Passo 3

No nosso caso, P(x,y,z)=f(y,z), Q(x,y,z)=g(x,z) e R(x,y,z)=h(x,y). Então:
partial Ppartial x =partialpartial xf(y,z) =0,
pois f não depende de x;
partial Qpartial y =partialpartial yg(x,z) =0,
pois g não depende de y;
partial Rpartial z =partialpartial zh(x,y) =0,
pois h não depende de z.

Resposta

Como cada termo da divergência é zero, concluímos que
div,vec F =0+0+0 =0,
logo vec F é incompressível.

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