Use o Teorema de Stokes para responder aos itens a seguir.
(a)
, onde
, e que
é o triângulo com vértices
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes, que é uma ferramenta poderosa no cálculo vetorial. O problema pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de um triângulo
com vértices em
,
e
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para converter a integral de linha em uma integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Esse teorema diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como fronteira. Em fórmula:
Onde
é o rotacional de
e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de
é dado por:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja fronteira seja o triângulo
. Vamos escolher o próprio triângulo no espaço. Para encontrar a normal a essa superfície, podemos parametrizar
de forma simples. Observando os vértices, percebemos que o triângulo está no plano
.
Podemos reescrever
. Assim, podemos parametrizar
com
e
variando entre 0 e 1, com a condição
.
O vetor normal
para o plano
é dado pelo vetor gradiente
. Para a integral de superfície, precisamos do vetor normal unitário orientado positivamente, então usamos
.
Passo 5
Vamos agora calcular a integral de superfície:
Substituindo
e
:
A integral se torna:
Como
(a área da projeção no plano
):
Onde
é o triângulo no plano
com
.
Calculando a integral dupla:
Simplificando o integrando:
Então:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.