Use o Teorema de Stokes para responder aos itens a seguir.
(a) integralC F d r, onde F(x, y, z)=(x+y, y+z, z+x^2), e que C é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes, que é uma ferramenta poderosa no cálculo vetorial. O problema pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y, z) = (x+y, y+z, z+x^2) ao longo de um triângulo C com vértices em (1,0,0) , (0,1,0) e (0,0,1) . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para converter a integral de linha em uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Esse teorema diz que a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S que tem C como fronteira. Em fórmula:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde nabla times F é o rotacional de F e n é o vetor normal à superfície S .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F . O rotacional de F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Calculando cada componente:
partial Fzpartial y = 0, partial Fypartial z = 1
partial Fxpartial z = 0, partial Fzpartial x = 2x
partial Fypartial x = 0, partial Fxpartial y = 1
Então:
nabla times F = (0 - 1, 0 - 2x, 0 - 1) = (-1, -2x, -1)

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja fronteira seja o triângulo C . Vamos escolher o próprio triângulo no espaço. Para encontrar a normal a essa superfície, podemos parametrizar S de forma simples. Observando os vértices, percebemos que o triângulo está no plano x + y + z = 1 .
Podemos reescrever z = 1 - x - y . Assim, podemos parametrizar S com x e y variando entre 0 e 1, com a condição x + y <= 1 .
O vetor normal n para o plano x + y + z = 1 é dado pelo vetor gradiente nabla (x + y + z) = (1, 1, 1) . Para a integral de superfície, precisamos do vetor normal unitário orientado positivamente, então usamos n = 1raiz3 (1, 1, 1) .

Passo 5

Vamos agora calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo nabla times F = (-1, -2x, -1) e n = 1raiz3 (1, 1, 1) :
(-1, -2x, -1) cdot 1raiz3 (1, 1, 1) = 1raiz3 (-1 - 2x -1) = -2 - 2xraiz3
A integral se torna:
-2raiz3 integral duplaS (1 + x) , dS
Como dS = raiz3 , dx , dy (a área da projeção no plano xy ):
-2raiz3 cdot raiz3 integral duplaD (1 + x) , dx , dy = -2 integral duplaD (1 + x) , dx , dy
Onde D é o triângulo no plano xy com x + y <= 1 .
Calculando a integral dupla:
-2 integral0^1 integral0^1 - x (1 + x) , dy , dx = -2 integral0^1 (1 + x)(1 - x) , dx
Simplificando o integrando:
(1 + x)(1 - x) = 1 - x^2
Então:
-2 integral0^1 (1 - x^2) , dx = -2 [ x - x^33 ]0^1 = -2 (1 - 13) = -2 cdot 23 = -43

Resposta

A integral de linha integralC F , dr é igual a -43 .

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