O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.
F(x, y)=y i+x j.

Passo 1

Beleza, a gente precisa descobrir se o campo vetorial F(x, y) = y i + x j é conservativo. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e as condições que eles precisam cumprir.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi. Isso significa que a força pode ser derivada de uma única função escalar, e o caminho que a gente escolhe entre dois pontos não altera o resultado final.

Passo 3

Em duas dimensões, pra verificar se um campo é conservativo, a gente olha as componentes do campo. Se F = P i + Q j, a condição pra ser conservativo é:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
Então, vamos identificar P e Q no nosso campo.

Passo 4

No nosso caso:
  • P = y
  • Q = x
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1

Resposta

Como partial Qpartial x = partial Ppartial y (ambos são iguais a 1), o campo vetorial F(x, y) = y i + x j é conservativo.

Exercícios relacionados