O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.
.
Passo 1
Beleza, a gente precisa descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e as condições que eles precisam cumprir.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que a força pode ser derivada de uma única função escalar, e o caminho que a gente escolhe entre dois pontos não altera o resultado final.
Passo 3
Em duas dimensões, pra verificar se um campo é conservativo, a gente olha as componentes do campo. Se
, a condição pra ser conservativo é:
Então, vamos identificar
e
no nosso campo.
Passo 4
No nosso caso:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Resposta
Como
(ambos são iguais a 1), o campo vetorial
é conservativo.