Para estimar a quantidade de madeira que existe no tronco de uma árvore, é razoável supor que a árvore é um cone truncado
Se o raio superior do tronco é r, o raio inferior é R e a altura é H , o volume de madeira é dado por
V=pi3 H(R^2+r R+r^2)
As taxas de aumento de r , R e H são respectivamente 10 cm / ano, 12,5 cm / ano e 22,5 cm / ano. Qual é a taxa de aumento de V no instante em que r=60 cm, R=9 cm e H=4,5 m ?
R) 99,08 pés ^3 / ano

Passo 1

O enunciado trata de um tronco de árvore aproximado por um tronco de cone, com volume
V = pi3,Hl(R^2 + rR + r^2r)
e pede a taxa dVdt, conhecendo as taxas drdt,dRdt,dHdt num instante dado. Vamos usar derivação implícita em função do tempo (related rates) e depois converter o resultado em ft^3/ano.

Passo 2

Derivando em relação ao tempo t:
dVdt = pi3,ddtl[H,(R^2 + rR + r^2)r] = pi3l[dot H,(R^2 + rR + r^2) + Hl(2R,dot R + r,dot R + R,dot r + 2r,dot rr)r],
onde usamos a notação dot H = tfracdHdt, dot r = tfracdrdt, dot R = tfracdRdt.

Passo 3

Passo para unidades consistentes: convertemos tudo para o SI (metros e metros por ano):
r=60 cm=0,60 m, R=9 cm=0,09 m, H=4,5 m,
dot r=10 cm/ano=0,10 m/ano, dot R=12,5 cm/ano=0,125 m/ano, dot H=22,5 cm/ano=0,225 m/ano
Calculamos primeiro
R^2 + rR + r^2 = (0,09)^2 + 0,60cdot0,09 + (0,60)^2 = 0,0081 + 0,054 + 0,36 = 0,4221;m^2
E o segundo parêntese:
2Rdot R + rdot R + Rdot r + 2rdot r =2,(0,09)(0,125) + 0,60,(0,125) + 0,09,(0,10) + 2,(0,60)(0,10) =0,0225 + 0,075 + 0,009 + 0,12 = 0,2265;m^2/ano

Passo 4

Substituindo em dVdt:
dVdt = pi3l[0,225cdot0,4221 + 4,5cdot0,2265r] = pi3l[0,0949725 + 1,01925r] = pi3,(1,1142225) approx 1,16665;m^3/ano

Passo 5

Para converter em pés cúbicos por ano usamos
1;m^3 = 35,315;ft^3,
então
dVdtl[ft^3/anor] =1,16665;m^3/anotimes35,315 approx41,2;ft^3/ano

Resposta

A taxa de aumento do volume é aproximadamente
dVdtapprox41,2;ft^3/ano

Exercícios relacionados