Para estimar a quantidade de madeira que existe no tronco de uma árvore, é razoável supor que a árvore é um cone truncado
Se o raio superior do tronco é r, o raio inferior é R e a altura é H , o volume de madeira é dado por
As taxas de aumento de r , R e H são respectivamente
ano e 22,5
ano. Qual é a taxa de aumento de V no instante em que
e
m ?
R) 99,08 pés
ano
Se o raio superior do tronco é r, o raio inferior é R e a altura é H , o volume de madeira é dado por
R) 99,08 pés
Passo 1
O enunciado trata de um tronco de árvore aproximado por um tronco de cone, com volume
e pede a taxa
, conhecendo as taxas
num instante dado. Vamos usar derivação implícita em função do tempo (related rates) e depois converter o resultado em
.
Passo 2
Derivando em relação ao tempo
:
onde usamos a notação
,
,
.
Passo 3
Passo para unidades consistentes: convertemos tudo para o SI (metros e metros por ano):
Calculamos primeiro
E o segundo parêntese:
Passo 4
Substituindo em
:
Passo 5
Para converter em pés cúbicos por ano usamos
então
Resposta
A taxa de aumento do volume é aproximadamente