Encontre a solução geral da seguinte EDO t d yd t+2 y=t^2 e faça um esboço do gráfico de algumas soluções (tomando pelo menos três valores para a constante: um negativo, um igual a zero e um positivo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
t dydt + 2y = t^2
Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Então, vamos passo a passo entender e resolver essa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
dydt + P(t) y = Q(t)
Dividindo toda a equação original por t (desde que t neq 0 ):
dydt + 2t y = t
Aqui, identificamos P(t) = 2t e Q(t) = t .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 2t dt = e^2 ln t = t^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela mu(t) para tornar o lado esquerdo da equação uma derivada:
t^2 dydt + t^2 cdot 2t y = t^2 cdot t
Simplificando:
t^2 dydt + 2t y = t^3
O lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(t) y :
ddt (t^2 y) = t^3

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t :
integral ddt (t^2 y) dt = integral t^3 dt
Isso nos dá:
t^2 y = t^44 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y para obter a solução geral:
y = t^4/4 + Ct^2 = t^44 t^2 + Ct^2 = t^24 + Ct^2

Passo 7

Portanto, a solução geral da EDO é:
y(t) = t^24 + Ct^2

Passo 8

Agora, para esboçar o gráfico de algumas soluções, escolhemos valores para a constante C :
  1. C = 0 :
y(t) = t^24
Este é um gráfico parabólico.
  1. C > 0 , por exemplo, C = 4 :
y(t) = t^24 + 4t^2
Este gráfico também cresce com t^2 , mas tem um termo adicional que diminui conforme t aumenta.
  1. C < 0 , por exemplo, C = -4 :
y(t) = t^24 - 4t^2
Aqui, o termo negativo pode causar o gráfico a cruzar o eixo y dependendo do valor de t .

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = t^24 + Ct^2
Onde C é uma constante real. O esboço dos gráficos para diferentes valores de C mostra curvas parabólicas ajustadas pelo termo Ct^2 , com C = 0 sendo uma parábola pura, C > 0 adicionando uma componente positiva e C < 0 trazendo uma componente negativa.

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