Encontre a solução geral da seguinte EDO
e faça um esboço do gráfico de algumas soluções (tomando pelo menos três valores para a constante: um negativo, um igual a zero e um positivo).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Então, vamos passo a passo entender e resolver essa EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Dividindo toda a equação original por
(desde que
):
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
para tornar o lado esquerdo da equação uma derivada:
Simplificando:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
para obter a solução geral:
Passo 7
Portanto, a solução geral da EDO é:
Passo 8
Agora, para esboçar o gráfico de algumas soluções, escolhemos valores para a constante
:
-
:
Este é um gráfico parabólico.
-
, por exemplo, :
Este gráfico também cresce com
, mas tem um termo adicional que diminui conforme
aumenta.
-
, por exemplo, :
Aqui, o termo negativo pode causar o gráfico a cruzar o eixo
dependendo do valor de
.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante real. O esboço dos gráficos para diferentes valores de
mostra curvas parabólicas ajustadas pelo termo
, com
sendo uma parábola pura,
adicionando uma componente positiva e
trazendo uma componente negativa.