Um vetor \mathbf{A} se estende da origem até (1,2,3), e um vetor \mathbf{B}, da origem a (2, 3, -2). Encontre: (a) o vetor unitário na direção de (A - B); (b) o vetor unitário na direção da linha que se estende da origem ao ponto médio da reta que une as extremidades de \mathbf{A} e \mathbf{B}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores a partir da origem: \mathbf{A}=(1,2,3) e \mathbf{B}=(2,3,-2). Pede-se
(a) o vetor unitário na direção de \mathbf{A}-\mathbf{B}
(b) o vetor unitário na direção da reta que vai da origem ao ponto médio do segmento que une as pontas de \mathbf{A} e \mathbf{B}.
Para isso, vamos usar subtração de vetores, fórmula do ponto médio e normalização (dividir cada vetor pelo seu módulo).

Passo 2

Calculamos primeiro a diferença
\mathbf{A}-\mathbf{B} = (1,2,3) - (2,3,-2) = (-1,\,-1,\;5).

Passo 3

O módulo de \mathbf{A}-\mathbf{B} é
\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\| =\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+5^2} =\sqrt{1+1+25} =\sqrt{27} =3\sqrt{3}.
Logo o vetor unitário em sua direção é
\frac{\mathbf{A}-\mathbf{B}}{\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\|} =\frac{(-1,-1,5)}{3\sqrt{3}}.

Passo 4

Agora achamos o ponto médio \mathbf{M} das pontas de \mathbf{A} e \mathbf{B}:
\mathbf{M} =\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}}{2} =\frac{(1,2,3)+(2,3,-2)}{2} =\bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{5}{2},\,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 5

O módulo de \mathbf{M} é
\|\mathbf{M}\| =\sqrt{\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{25}{4}+\tfrac{1}{4}} =\sqrt{\tfrac{35}{4}} =\frac{\sqrt{35}}{2}.
Portanto o vetor unitário na direção de \mathbf{M} é
\frac{\mathbf{M}}{\|\mathbf{M}\|} =\frac{\bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{5}{2},\,\tfrac{1}{2}\bigr)}{\tfrac{\sqrt{35}}{2}} =\frac{(3,5,1)}{\sqrt{35}}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{(-1,-1,5)}{3\sqrt{3}}
(b) \displaystyle \frac{(3,5,1)}{\sqrt{35}}

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