A demonstração apresentada é um caso muito particular, no qual a força foi considerada constante e o caminho uma linha reta. Sendo assim, determine uma equação para a potência instantânea
para os casos mais gerais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente já viu uma demonstração onde a potência instantânea $ P_{ot}(t) $ foi calculada num caso específico: quando a força $ \vec{F} $ é constante e o movimento é numa linha reta. Agora, a pergunta quer que a gente encontre uma equação para $ P_{ot}(t) $ que funcione nos casos mais gerais, ou seja, sem essas limitações. Pra isso, vamos precisar entender bem o que é potência instantânea e como ela se relaciona com força e velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é potência instantânea. Potência é basicamente a taxa de realização de trabalho. Ou seja, ela nos diz quão rápido a força está realizando trabalho sobre um objeto. A potência instantânea $ P_{ot}(t) $ é a potência em um instante específico de tempo.
Matematicamente, a potência instantânea pode ser expressa como a derivada do trabalho realizado $ W $ em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o trabalho $ W $ realizado por uma força $ \vec{F} $ ao longo de um deslocamento $ \Delta \vec{s} $ é dado pelo produto escalar dessas duas grandezas:
Se a força não é constante ou o deslocamento não é numa linha reta, precisamos considerar essas variações ao calcular a derivada.
Passo 4
Para encontrar a potência instantânea geral, vamos derivar o trabalho em relação ao tempo. Se a força e o deslocamento podem variar com o tempo, temos:
Usando a regra do produto para derivadas, isso fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar cada termo dessa expressão. O primeiro termo envolve a variação da força com o tempo multiplicada pelo deslocamento. O segundo termo tem a força multiplicada pela velocidade.
Entretanto, em muitos casos, especialmente quando a força e o deslocamento estão relacionados ao movimento do objeto, o deslocamento $ \Delta \vec{s}(t) $ pode ser ligado à velocidade $ \vec{v}(t) $, já que:
Passo 6
Se assumirmos que a força é a única que está realizando trabalho relacionado ao movimento (ou seja, outras forças não estão realizando trabalho significativo), o termo com a derivada da força pode ser desprezado ou tratado de forma específica. Porém, para uma expressão geral, consideramos que a principal contribuição à potência vem do segundo termo:
Passo 7
Essa é a expressão geral para a potência instantânea. Ela nos mostra que, independentemente de como a força e o movimento variam com o tempo, a potência instantânea é sempre o produto escalar entre a força aplicada e a velocidade do objeto no mesmo instante.
Resposta
A potência instantânea geral é dada por: