Sabemos que o gradiente de um campo escalar
em coordenadas cartesianas é dado por
. No entanto, a expressão do gradiente é mais complicada em outros sistemas de coordenadas. A seguir presenta-se o gradiente em coordenadas esféricas:
Um força é dita ser uma força central quando, escrita em coordenadas esféricas, seu módulo depende apenas da coordenada
, mais ainda, essa força é sempre na direção radial, ou seja,
Prove que uma força central é sempre conservativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre gradiente de campos escalares em coordenadas cartesianas e esféricas. A gente também aprende o que é uma força central: uma força que só depende da distância $ r $ e sempre aponta na direção radial. Nosso objetivo aqui é provar que toda força central é sempre conservativa. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa e usar a expressão do gradiente em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma força ser conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza em um caminho fechado é zero, ou seja, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Matematicamente, isso significa que a força pode ser derivada de um potencial escalar $ U $, ou seja, $ \vec{F} = -\vec{\nabla} U $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a força central definida como $ \vec{F}(\vec{r}) = F® \hat{r} $. Aqui, $ F® $ é uma função que depende apenas da distância $ r $ e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial. Queremos mostrar que essa força pode ser expressa como o gradiente de algum potencial escalar.
Passo 4
Vamos usar a expressão do gradiente em coordenadas esféricas:
Para que $ \vec{F} = -\vec{\nabla} U $, precisamos que somente o termo radial exista, ou seja, as derivadas em $ \theta $ e $ \varphi $ sejam zero.
Passo 5
Como a força central $ \vec{F} = F® \hat{r} $ só depende de $ r $ e não de $ \theta $ nem de $ \varphi $, podemos concluir que $ \frac{\partial U}{\partial \theta} = 0 $ e $ \frac{\partial U}{\partial \varphi} = 0 $. Isso significa que o potencial $ U $ também depende apenas de $ r $.
Passo 6
Portanto, a equação do gradiente simplifica para:
E para corresponder à força central, temos:
Isso mostra que podemos definir um potencial $ U® $ tal que a força central é derivada desse potencial.
Passo 7
Como conseguimos expressar a força central como o gradiente de um potencial escalar, isso implica que a força central é conservativa. Ou seja, o trabalho realizado por essa força depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Resposta
Assim, provamos que uma força central $ \vec{F}(\vec{r}) = F® \hat{r} $ é sempre conservativa.