Sabemos que o gradiente de um campo escalar U(x, y, z) em coordenadas cartesianas é dado por nabla U(x, y, z)=partialpartial x U(x, y, z) x+partialpartial y U(x, y, z) y+partialpartial z U(x, y, z) z. No entanto, a expressão do gradiente é mais complicada em outros sistemas de coordenadas. A seguir presenta-se o gradiente em coordenadas esféricas:
nabla U(r, theta, varphi)=partialpartial r U(r, theta, varphi) r+1r partialpartial theta U(r, theta, varphi) theta+1r sen(theta) partialpartial varphi U(r, theta, varphi) varphi
Um força é dita ser uma força central quando, escrita em coordenadas esféricas, seu módulo depende apenas da coordenada r, mais ainda, essa força é sempre na direção radial, ou seja,
Força Central =F(r)=F(r) r ç
Prove que uma força central é sempre conservativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre gradiente de campos escalares em coordenadas cartesianas e esféricas. A gente também aprende o que é uma força central: uma força que só depende da distância $ r $ e sempre aponta na direção radial. Nosso objetivo aqui é provar que toda força central é sempre conservativa. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa e usar a expressão do gradiente em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma força ser conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza em um caminho fechado é zero, ou seja, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Matematicamente, isso significa que a força pode ser derivada de um potencial escalar $ U $, ou seja, $ \vec{F} = -\vec{\nabla} U $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a força central definida como $ \vec{F}(\vec{r}) = F® \hat{r} $. Aqui, $ F® $ é uma função que depende apenas da distância $ r $ e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial. Queremos mostrar que essa força pode ser expressa como o gradiente de algum potencial escalar.

Passo 4

Vamos usar a expressão do gradiente em coordenadas esféricas:
nabla U(r, theta, varphi) = partial Upartial r r + 1r partial Upartial theta theta + 1r sin(theta) partial Upartial varphi varphi
Para que $ \vec{F} = -\vec{\nabla} U $, precisamos que somente o termo radial exista, ou seja, as derivadas em $ \theta $ e $ \varphi $ sejam zero.

Passo 5

Como a força central $ \vec{F} = F® \hat{r} $ só depende de $ r $ e não de $ \theta $ nem de $ \varphi $, podemos concluir que $ \frac{\partial U}{\partial \theta} = 0 $ e $ \frac{\partial U}{\partial \varphi} = 0 $. Isso significa que o potencial $ U $ também depende apenas de $ r $.

Passo 6

Portanto, a equação do gradiente simplifica para:
nabla U(r) = dUdr r
E para corresponder à força central, temos:
F = -nabla U = -dUdr r
Isso mostra que podemos definir um potencial $ U® $ tal que a força central é derivada desse potencial.

Passo 7

Como conseguimos expressar a força central como o gradiente de um potencial escalar, isso implica que a força central é conservativa. Ou seja, o trabalho realizado por essa força depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Resposta

Assim, provamos que uma força central $ \vec{F}(\vec{r}) = F® \hat{r} $ é sempre conservativa.

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