Para o campo vetorial
, determine o divergente
e verifique se o campo é divergente em
.
Analise se o resultado é coerente com a definição de divergência em termos de fluxos de campo.
Analise se o resultado é coerente com a definição de divergência em termos de fluxos de campo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a divergência do campo vetorial
e verificar se ele é divergente no ponto
. Pra isso, vamos precisar entender o que é divergência na matemática, usar a fórmula certa e aplicar no nosso caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial nos dá uma medida de quanto esse campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Matematicamente, para um campo
, a divergência é dada por:
Então, vamos usar essa fórmula pra calcular a divergência do nosso campo.
Passo 3
No nosso caso, o campo é
. Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente:
Passo 5
Somando essas derivadas, temos:
Então, a divergência do campo
é igual a 3.
Passo 6
Agora, vamos verificar se o campo é divergente no ponto
. Como calculamos que a divergência é 3 em todo lugar (não depende das coordenadas x, y ou z), no ponto
a divergência também será 3. Como 3 é diferente de zero, isso significa que o campo é divergente nesse ponto.
Passo 7
Por fim, vamos analisar se isso faz sentido com a definição de divergência em termos de fluxos de campo. Uma divergência positiva indica que há mais “fluxo saindo” do ponto do que “entrando”, ou seja, o campo está agindo como uma fonte nesse ponto. No nosso caso,
confirma que realmente há um fluxo saindo do ponto
, o que está de acordo com a definição teórica de divergência.
Resposta
A divergência do campo vetorial
é igual a 3, e no ponto
o campo é divergente. Esse resultado está coerente com a definição de divergência em termos de fluxos de campo, indicando que o campo está agindo como uma fonte nesse ponto.