Para o campo vetorial F=x i+y j+z k, determine o divergente nabla cdot F e verifique se o campo é divergente em P(1,1,1).
Analise se o resultado é coerente com a definição de divergência em termos de fluxos de campo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a divergência do campo vetorial F = x i + y j + z k e verificar se ele é divergente no ponto P(1,1,1). Pra isso, vamos precisar entender o que é divergência na matemática, usar a fórmula certa e aplicar no nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial nos dá uma medida de quanto esse campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Matematicamente, para um campo F = P i + Q j + R k, a divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Então, vamos usar essa fórmula pra calcular a divergência do nosso campo.

Passo 3

No nosso caso, o campo é F = x i + y j + z k. Isso significa que:
  • P = x
  • Q = y
  • R = z

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente:
  • partial Ppartial x = partial xpartial x = 1
  • partial Qpartial y = partial ypartial y = 1
  • partial Rpartial z = partial zpartial z = 1

Passo 5

Somando essas derivadas, temos:
nabla cdot F = 1 + 1 + 1 = 3
Então, a divergência do campo F é igual a 3.

Passo 6

Agora, vamos verificar se o campo é divergente no ponto P(1,1,1). Como calculamos que a divergência é 3 em todo lugar (não depende das coordenadas x, y ou z), no ponto P(1,1,1) a divergência também será 3. Como 3 é diferente de zero, isso significa que o campo é divergente nesse ponto.

Passo 7

Por fim, vamos analisar se isso faz sentido com a definição de divergência em termos de fluxos de campo. Uma divergência positiva indica que há mais “fluxo saindo” do ponto do que “entrando”, ou seja, o campo está agindo como uma fonte nesse ponto. No nosso caso, nabla cdot F = 3 > 0 confirma que realmente há um fluxo saindo do ponto P(1,1,1), o que está de acordo com a definição teórica de divergência.

Resposta

A divergência do campo vetorial F é igual a 3, e no ponto P(1,1,1) o campo é divergente. Esse resultado está coerente com a definição de divergência em termos de fluxos de campo, indicando que o campo está agindo como uma fonte nesse ponto.

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