Considerando o campo escalar psi(r, theta, phi)=r^2 sin theta cos phi em coordenadas esféricas, calcule o Laplaciano nabla^2 psi.
Desenvolva a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para o campo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo escalar definido em coordenadas esféricas: psi(r, theta, phi) = r^2 sin theta cos phi. O objetivo é calcular o Laplaciano desse campo, que é representado por nabla^2 psi. Para isso, vamos precisar entender como calcular o Laplaciano em coordenadas esféricas, que envolve derivadas parciais em relação a r, theta e phi.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas. O Laplaciano de uma função psi(r, theta, phi) é dado por:
nabla^2 psi = 1r^2 partialpartial r(r^2 partial psipartial r) + 1r^2 sin theta partialpartial theta(sin theta partial psipartial theta) + 1r^2 sin^2 theta partial^2 psipartial phi^2
Isso pode parecer complicado, mas vamos por partes!

Passo 3

Vamos calcular cada termo do Laplaciano separadamente. Primeiro, vamos achar partial psipartial r:
partial psipartial r = partialpartial r (r^2 sin theta cos phi) = 2r sin theta cos phi
Agora, multiplicamos por r^2 e derivamos novamente em relação a r:
r^2 partial psipartial r = r^2 cdot 2r sin theta cos phi = 2r^3 sin theta cos phi
partialpartial r(2r^3 sin theta cos phi) = 6r^2 sin theta cos phi
Dividindo por r^2:
1r^2 cdot 6r^2 sin theta cos phi = 6 sin theta cos phi

Passo 4

Agora, vamos para a derivada em relação a theta. Primeiro, achamos partial psipartial theta:
partial psipartial theta = partialpartial theta (r^2 sin theta cos phi) = r^2 cos theta cos phi
Multiplicamos por sin theta:
sin theta partial psipartial theta = sin theta cdot r^2 cos theta cos phi = r^2 sin theta cos theta cos phi
Derivamos isso em relação a theta:
partialpartial theta (r^2 sin theta cos theta cos phi) = r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) cos phi
Dividindo por r^2 sin theta:
1r^2 sin theta cdot r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) cos phi = cos^2 theta - sin^2 thetasin theta cos phi
Simplificando:
cos 2thetasin theta cos phi

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada em relação a phi. Primeiro, achamos partial psipartial phi:
partial psipartial phi = partialpartial phi (r^2 sin theta cos phi) = -r^2 sin theta sin phi
Derivamos novamente em relação a phi:
partial^2 psipartial phi^2 = partialpartial phi (-r^2 sin theta sin phi) = -r^2 sin theta cos phi
Dividindo por r^2 sin^2 theta:
1r^2 sin^2 theta cdot (-r^2 sin theta cos phi) = -cos phisin theta

Passo 6

Agora, vamos juntar todos os termos que calculamos:
nabla^2 psi = 6 sin theta cos phi + cos 2thetasin theta cos phi - cos phisin theta
Podemos simplificar os termos:
nabla^2 psi = cos phi (6 sin theta + cos 2theta - 1sin theta)
Lembrando que cos 2theta = 2cos^2 theta - 1, substituindo:
nabla^2 psi = cos phi (6 sin theta + 2cos^2 theta - 2sin theta)
Simplificando mais:
nabla^2 psi = cos phi (6 sin theta + 2 cos^2 theta - 1sin theta)
Sabemos que cos^2 theta - 1 = -sin^2 theta, então:
nabla^2 psi = cos phi (6 sin theta - 2 sin^2 thetasin theta) = cos phi (6 sin theta - 2 sin theta) = cos phi cdot 4 sin theta

Resposta

O Laplaciano do campo escalar psi(r, theta, phi) = r^2 sin theta cos phi é:
nabla^2 psi = 4 sin theta cos phi

Exercícios relacionados