Considerando o campo escalar
em coordenadas esféricas, calcule o Laplaciano
.
Desenvolva a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para o campo dado.
Desenvolva a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para o campo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo escalar definido em coordenadas esféricas:
. O objetivo é calcular o Laplaciano desse campo, que é representado por
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o Laplaciano em coordenadas esféricas, que envolve derivadas parciais em relação a
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas. O Laplaciano de uma função
é dado por:
Isso pode parecer complicado, mas vamos por partes!
Passo 3
Vamos calcular cada termo do Laplaciano separadamente. Primeiro, vamos achar
:
Agora, multiplicamos por
e derivamos novamente em relação a
:
Dividindo por
:
Passo 4
Agora, vamos para a derivada em relação a
. Primeiro, achamos
:
Multiplicamos por
:
Derivamos isso em relação a
:
Dividindo por
:
Simplificando:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada em relação a
. Primeiro, achamos
:
Derivamos novamente em relação a
:
Dividindo por
:
Passo 6
Agora, vamos juntar todos os termos que calculamos:
Podemos simplificar os termos:
Lembrando que
, substituindo:
Simplificando mais:
Sabemos que
, então:
Resposta
O Laplaciano do campo escalar
é: