Dado o campo vetorial , calcule a integral de linha de ao longo de uma curva que vai do ponto até o ponto .
Justifique se a integral depende do caminho escolhido ou apenas dos pontos inicial e final.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva que vai do ponto até o ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, usar a função potencial para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos checar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional é zero, ou seja, . Vamos calcular o rotacional de :
Calculando o determinante:
nabla times F = ( partial z^2partial y - partial 2ypartial z ) i - ( partial z^2partial x - partial 3x^2partial z ) j + ( partial 2ypartial x - partial 3x^2partial y ) k
Simplificando:
nabla times F = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (0 - 0)k = 0
Como o rotacional de F é zero, o campo é conservativo.
Passo 3
Como F é conservativo, existe uma função potencial $ \phi(x,y,z) $ tal que $ \vec{F} = \nabla \phi $. Vamos encontrar essa função potencial integrando os componentes de phi(x,y,z) .
Primeiro, integramos a componente F = nabla phi :
F
Agora, derivamos x em relação a partial phipartial x = 3x^2 implies phi(x,y,z) = x^3 + g(y,z) e igualamos à componente phi de y:
y
Integrando em relação a F:
partial phipartial y = 2y implies partialpartial y(x^3 + g(y,z)) = 2y implies partial gpartial y = 2y
Agora, derivamos y em relação a g(y,z) = y^2 + h(z) e igualamos à componente phi de z:
z
Integrando em relação a F:
partial phipartial z = z^2 implies partialpartial z(x^3 + y^2 + h(z)) = z^2 implies partial hpartial z = z^2
Portanto, a função potencial é:
z
Podemos ignorar a constante h(z) = z^33 + C para calcular a diferença.
Passo 4
Agora que temos a função potencial phi(x,y,z), a integral de linha de F de A até B é simplesmente a diferença dos valores de phi nesses pontos:
integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A)
Calculando phi em A(1,0,0):
phi(1,0,0) = (1)^3 + (0)^2 + (0)^33 = 1
Calculando phi em B(0,1,1):
phi(0,1,1) = (0)^3 + (1)^2 + (1)^33 = 1 + 13 = 43
Então:
integralC F cdot dr = 43 - 1 = 13
Passo 5
Já que mostramos que o campo F é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, ou seja, qualquer caminho escolhido entre A e B dará o mesmo resultado.
Resposta
A integral de linha de F de A(1,0,0) até B(0,1,1) é 13, e ela depende somente dos pontos inicial e final, não do caminho escolhido.