O campo vetorial F(x, y)=(ln (1+y^2), 2 y xy^2+2) é conservativo?
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=(P,Q) com
P(x,y)=lnl(1+y^2r), Q(x,y)=2yxy^2+2,
e pergunta se F é conservativo. O domínio é R^2, que é simplesmente conexo, logo basta verificar a condição
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x

Passo 2

Calculamos partial Ppartial y. Como
P(x,y)=lnl(1+y^2r),
temos por regra da cadeia
partial Ppartial y =11+y^2cdot 2y =2y1+y^2

Passo 3

Calculamos partial Qpartial x. Como
Q(x,y)=2yxy^2+2,
tratando y como constante,
partial Qpartial x =2yy^2+2

Passo 4

Comparando
partial Ppartial y =2y1+y^2, partial Qpartial x =2yy^2+2,
vemos que elas não coincidem (pois 1+y^2neq y^2+2). Logo F não é conservativo.

Resposta

a. Falso

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