Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
(1) V=[a y^2 e^-b r] i

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade
vec V = l[a,y^2e^-b,rr]hatimath
onde usamos coordenadas cartesianas (x,y,z) e
r = raizx^2+y^2+z^2,
O objetivo é calcular a dilatação (divergência)
nabla!cdot!vec V e a vorticidade (rotação)
vecomega = nablatimesvec V. Vamos aplicar as fórmulas padrão em cartesianas.

Passo 2

Primeiro note que
Vx = a,y^2e^-b,r, Vy = 0, Vz = 0
Também usaremos
partial rpartial x = xr, partial rpartial y = yr, partial rpartial z = zr

Passo 3

Cálculo da divergência:
nabla!cdot!vec V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z = partialpartial xl(a,y^2e^-b,rr)
Como y é tratado como constante em partial/partial x,
partial Vxpartial x = a,y^2,ddxl(e^-b,rr) = a,y^2,l(-b,e^-b,rr),partial rpartial x = -,a,b,y^2e^-b,r,xr
Logo
nabla!cdot!vec V = -,a,b,x,y^2r;e^-b,r

Passo 4

Cálculo da vorticidade:
vecomega = nablatimesvec V = l(partialy Vz - partialz Vyr)hatimath + l(partialz Vx - partialx Vzr)hatjmath + l(partialx Vy - partialy Vxr)hat k
Como Vy=Vz=0, simplifica-se para
omegax = 0, omegay = partial Vxpartial z, omegaz = -,partial Vxpartial y
Agora
partial Vxpartial z = a,y^2,ddzl(e^-b,rr) = -,a,b,y^2e^-b,r,partial rpartial z = -,a,b,y^2zr;e^-b,r,
e
partial Vxpartial y = a,ddyl(y^2e^-b,rr) = al(2y,e^-b,r + y^2,(-b,e^-b,r)partial rpartial yr) = a,e^-b,rl(2y - b,y^3rr)
Portanto
omegay = -,a,b,y^2zr;e^-b,r, omegaz = -,a,e^-b,rl(2y - b,y^3rr)

Resposta

Dilatação (divergência):
nabla!cdot!vec V = -,a,b,x,y^2r;e^-b,r
Vorticidade (rotação):
vecomega = l(0,; -,tfraca,b,y^2zr,e^-b,r,; -,a,e^-b,rl(2y - b,tfracy^3rr) r)

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