Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
20 (x+2)^2 d yd x=5-8 y-4 x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(x+2)^2dydx=5-8y-4xy
e pede a solução geral y=y(x). Observando que o termo em y aparece somado a um coeficiente que depende de x, vemos que não é uma equação separável, mas sim uma equação linear na forma padrão
dydx+P(x),y=Q(x)
Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão, dividindo ambos os lados por (x+2)^2:
dydx+8+4x(x+2)^2,y=5(x+2)^2
Dessa forma identificamos
P(x)=8+4x(x+2)^2, Q(x)=5(x+2)^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)
Como
8+4x(x+2)^2=4(x+2)(x+2)^2=4x+2,
temos
integral P(x),dx=integral4x+2,dx=4lnlvert x+2rvert
e, portanto,
mu(x)=e^4lnlvert x+2rvert=(x+2)^4

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante (x+2)^4:
(x+2)^4dydx+(x+2)^4P(x)y=(x+2)^4Q(x)
ou seja
ddxl[(x+2)^4yr]=5,(x+2)^2
Aqui usamos a propriedade de que dmudx=mu P(x).

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl[(x+2)^4yr],dx=integral 5,(x+2)^2,dx
,(x+2)^4y=;5integral (x+2)^2,dx=;5cdot(x+2)^33+C;=;53(x+2)^3+C

Passo 6

Por fim, isolamos y dividindo por (x+2)^4:
y(x) =53(x+2)^3+C(x+2)^4 =53(x+2)+C(x+2)^4,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x)=53(x+2)+C(x+2)^4, CinR

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