Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
21 d rd theta+r sec theta=cos theta

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
drdtheta + r,sectheta = costheta
Esse é um caso de equação linear de primeira ordem na variável r(theta). Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
drdtheta + P(theta),r = Q(theta),
onde
P(theta)=sectheta e Q(theta)=costheta

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(theta)=exp!l(integral P(theta),dthetar) =exp!l(integral sectheta,dthetar) =exp!l(lnlvertsectheta+tanthetarvertr) =sectheta+tantheta

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(theta):
(sectheta+tantheta),drdtheta +(sectheta+tantheta),sectheta,r =costhetal(sectheta+tanthetar)
O lado esquerdo é a derivada do produto r(theta),mu(theta), pois
ddthetal[r(theta),mu(theta)r] =(sectheta+tantheta),drdtheta +r,ddtheta(sectheta+tantheta) =(sectheta+tantheta)l(drdtheta+r,secthetar)
No lado direito,
costheta,sectheta + costheta,tantheta = 1 + sintheta

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
ddthetal[r(theta)(sectheta+tantheta)r] =1+sintheta Longrightarrow r(theta)(sectheta+tantheta) =integral(1+sintheta),dtheta =theta - costheta + C

Passo 6

Isolando r(theta), obtemos a solução geral
r(theta) =theta - costheta + Csectheta+tantheta

Resposta

A solução geral da equação é
boxedr(theta)=theta - costheta + Csectheta+tantheta,
onde C é a constante de integração.

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